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次方程式の解が整数であるための条件
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発展例題92 O0OO
発展例題93
の について
)方程式のを解け。
方程式のの解が整数であるとき,nの値とそのときの解を求めよ。
CRI
2次式が整数となる条件
GUIDE)
2次式=m(m は整数)とおいて,( )x( )=(整数)の形を導く
1) 解の公式を利用する。答えはヵを含む式となる。
(2) のの解は『n+12 を含む式となるから、この式が整数になる必要がある。
+12=m (mは整数)
mーn=12 すなわち(m+n)(m-n)=12 -()×( )=(整数)の形
よって,積が12 となるように m+n, m-nの値の組を決める。
その際は、下の解答のように、0<m-nくm+n を利用して値の絞り込みを効率
よく行うとよい。
4章
のとおき,両辺を2乗して整理すると
発
展
学
習
自然安みる?
解の公式により
x=ーn土くn-1-(-12)=-n±\"+12
のから、n+12 が整数であれば,方程式のの解は整数と
なる。y12=m (m は整数)とおいて,両辺を2乗すると
n412=m°
よって(m十n)(m-n)=12
m, nは自然数であるから m+nも自然数で,③より m-n-を満たすとき
も自然数である。また
-2次方程式
ax°+26'x+c=0 の解
の
は
ーが土/b-ac
これを利用する。
ゆえに
m-n=12
-( )×( )=(整数)
IF.
0<m-nくm+n
m+n>0ならmーn>0
m+n=12
m+n=6
m+n=4
*掛けて12になる 12 の正
の約数の組。(*)に注意。
ゆえに、3から
m-n=1
m-n=2'
m-n=3
解は順に
( 4 2。
13 11
(m、n)=
7
1
2'2
2'2
よって
ーn=2 のとき,のから
x+4x-12=0
よって(xー2)(x+6) =0
一般に、整数 a,bについて、(a+b)-(a-b)=26(偶数)であるから,a+bと
4-6はともに偶数であるか,またはともに奇数である。このことを利用すると,上の
このとき,方程式①の解は、②から
x=ー2土16=-2±4 すなわち x=2, -6
n=2
解答のの組は省くことができて,さらに効率よく進められる。
