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演習 例題223 3本の接線が引けるための条件 (1)
曲線C:y=x+3x2+x と点 A(1, a) がある。 Aを通ってCに3本の接線が引
けるとき,定数aの値の範囲を求めよ。 [類 北海道教育大]
1970
基本 218
である。
る。
指針▷ 3次関数のグラフでは、接点が異なると接線が異なる(下の 検討 参照) から,
曲線CA (1,α) を通る3本の接線が引ける
針の① の
曲線C上の点 (t +3t'+t) における接線が A を通るようなtの値が3つある
そこで, 曲線C上の点(t, t3+3t+t) における接線の方程式を求め,これが点 (1,α) を
通ることから, f(t)=a の形の等式を導く。 ・・・・・・
CHART 3次曲線 接点 [接線] 別なら 接線 [接点] も別
解答
y=3x2+6x+1であるから, 曲線C上の点(t, 3+ 312+t)に
おける接線の方程式はy-(t+3t+t)=(32+6t+1)(x-t
すなわち
y=(3t2+6t+1)x−2t−3t2
ばよい。
この接線が点 (1,α) を通るとすると -23+6t+1=α ... ①
f(t)=-2t+6t+1とすると
f'(t)=-6t2+6=-6(t+1)(t-1)
f'(t)=0 とするとt=±1
f(t) の増減表は次のようになる。
-1
1
0
|極大
5
....
0 +
極小
-3
7
-
5
t
f'(t)
-3
f(t)
3次関数のグラフでは,接点が異なると接線が異なるから,
もの3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつとき, 点Aか
ら曲線Cに3本の接線が引ける。
したがって、曲線 y=f(t) と直線y=α が異なる3点で交わる
条件を求めて -3<a<5
-1/0
+トー
の解
1
y=a
t
- Ku
y=f(t)
定数 αを分離。
f(-1)=2-6+1 = -3,
f(1)=-2+6+1=5
①の実数解は曲線
y=f(t) と直線y=α との
共有点の座標。
検討
3次関数のグラフにおける, 接点と接線の関係
3次関数y=g(x)のグラフに直線y=mx+nがx=α, β (αキβ)で接すると仮定すると
g(x)-(mx+n)=k(x-a)²(x-B)² (k=0)
←接点
重解
の形の等式が成り立つはずである。 ところが, この左辺は3次式, 右辺は4次式であり矛盾して
いる。 よって,3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線も異なる。
the
これに対して, 例えば4次関数のグラフでは、 異なる2点で接する直線がありうる (前ページの
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3 関連発展問題
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