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102 第2章 高次方程式
Think
例題 47
2次式の因数分解
(1) 複素数の範囲で考えて、次の式を因数分解せよ.
(イ) x-16
(7) 3x²-x-1
(2) x2+xy-6y2-9x+ky+20が1次式の積となるように定数kの値
を定めよ.
考え方 (1) (与式)=0」 とおき,xの2次方程式を考えると,複素数の範囲で必ず解をもつ。
(②2)まずxの2次式とみて因数分解し、これがx,yの1次式の積になると考える
別解では,
解答
「与えられた式が1次式の積で表される」
⇒ 「( )(
(1) (ア) 3²-x-1=0の解は,
___(-1)±√(-1)²-4・3・(-1)
2.3
x=-
よって,
の形に因数分解できる」ことから, (
3-x-1=(x-1+13) (x_1-13)
6
したがって, x2+4=(x-2i)(x+2i)
(2) xの2次方程式
2の係数3を忘れ
6
ないこと
(イ)x_16=(x-4)(x+4)=(x-2)(x+2)(x+4) 32x-1=0の2
x=±2i
x2+4=0の解は,x2=-4より
解を α,βとすると、
左辺は
3x-x-1
*m−(x+2)(-+^x x=-
, x₁-16=(x-2)(x+2)(x−2i) (x+2i)
Vs
x2+(y-9)x-6y2+ky+20= 0
の判別式をDとすると,①の解は,
Ex++ -(y-9)±√D_9-y±√D
1±√13
6
2
...1
2
って、与式は, ()
9-y+√D
(①)(x
9-y-√D
宇都(与式)=(xーターサナ)(x-9-12D)
X-
と因数分解できる.
D=(y-9)2-4・1・(-6y²+ky +20)
したがって, 4(k+7)(k+2)=0
よって,
k=-7, -2
****
yについての2次方程式 25y²-2(9+2ky +1=0 の
判別式をDとすると, D1=0 である.
mi
D₁={-(9+2k)}²-25-1=4k²+36k+56
=4(k'+9k+14)=4(k+7)(k+2)
( )の形で表す。
=y²-18y+81+24y²-4ky-80)=(-888-
=25y2-2(9+2ky +1
したがって, 与式がx,yの1次式の積になるのは、
根号の中のDがyの完全平方式であるときである。
解の公式を用いる。
S-8228
=3(x-a)(x-β)
と因数分解すること
ができる.
yの2次式
完全平方式とは,
ay-α)の形のこと
完全平方式であるか
ら、重解をもつ
(判別式) = 0
k-7 のとき
D=(5y + 1)²
k=2のとき
D=(5y-1)2
注》Dがyについての2次式なので,Dをa(y-α)² と表すことができればDはyの
1次式として表すことができるので ひが
(ab=20
①F旬に代
FOCUS
Ok
0
13
ar
