【発展例題 5)〈同一円周上にある条件)
21 = -3+3i, 22 =4+4i, zg=3+6i とする。複素数
平面上の点zは Z1, 22, 23 を通る円周上にあり,かつ, z
の実部は0である。zを求めよ。
【解答)
図そ描く
Rez=0 より,z¥ 22である。
21, 22,23 は互いに異なり, 同一直線上にはないので,こ
の3点を通る円がただ一つある。
zが 21, 22 に対して, Z3 と同じ側にあるとき,円周角の
定理より,
21
arg-
22-2
21- 23
= arg
22- 23
21- 23
arg
22- 23
令
22-2
21-2
= 2nπ
(ne Z)
22- 23
+ arg
21- 23
21-2
2nT
令
22- 2
(21 - 2)(2 - 23)
(2 - 2)(21- 23)
|zが 21, 22 に対して, 23 と逆側にあるとき, 四角形 2122223
令
= 2nπ
の内対角が補角をなすので,
21-2
22-2
22- 23 = T+ 2nπ
+ arg
21- 23
(ne Z)
(21 - 2)(22 - 23)
(22 -2)(21 - 23)
令
=T+ 2nπ
以上まとめて,zが 21, 22, 23を通る円周上にある条件は,
(21- 2) (2-23)
(22 - 2)(21- 23)
(21-2)(2- 23)=(-2)(21- 23)
(2-2) (21-
Rez=0より、とERを用いて, z = ki とおける。
のに代1とて
{-3+ (3-k)i}(1 - 2i)
{4+ (4-k)i}(-6-3i)
令?- 7k = 0
ER
(21-2 (22 23)
令
鮮を方のエ夫
{-3- (3-k)i}(1 + 2i)
{4- (4-k)i}(-6+3)
→k= 0.7
これより,z = 0, 7i となるが, このとき, Z1, 22, 23, 2
は互いに相異なり, 同一円周上にある。
よって, 求める z は,
2= 0,76 ……答
分性の確。
0でなか
ー M
