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基本 例題 181 対数関数の最大・最小 (2)
|x≧2,y≧2,xy=16のとき, (10g2x) (10g2y) の最大値と最小値を求めよ。 また、
そのときのx,yの値を求めよ。
基本180
指針▷条件 x≧2,y≧2,xy=16 と,値を求める (log2x) (10g2y) の式の形が異なるから扱いにく
い。したがって, 式の形を統一することから始める。
このとき,(log2x)(log2y) の 10g を取り外すことはできないから、条件式を対数の形で表
す。 条件式の各辺の2を底とする対数をとると
log2x log22, log2 y≥log22, log2xy=log216 (log2x+log₂ y=4)
よって, 10gx=X, log2y=Yとおくと, この問題は
158 DIARE
X≧1,Y≧1,X+Y=4のとき, XY の最大値・最小値を求める問題になる。
後は 条件の式 文字を減らす 変域に注意 の方針による。
58 MB *SO
CHART 多項式と対数が混在した問題 式の形をどちらかに統一
解答
x≧2,y≧2,xy=16の各辺の2を底とする対数をとると
log2x≥1, log2 y≥1, log2x+log2 y=4
log2x=X, logy = Y とおくと
X≧1, Y≧1, X+Y=4
X + Y = 4 から
Y=4-X
Y ≧1 であるから
4-X≧1
X≧1 との共通範囲は 1≦X≦3
また
......
(log2x) (log2 y)
=XY=X (4-X)=-X2+4X
=-(X-2)^+4
これをf(X) とすると, ② の範囲に
おいて, f(x) は
①から
①
ゆえに
(2)
f(x)↑
4
3
T
1 I
X ≤3
X=2 で最大値 4,
X = 1, 3 で最小値3 をとる。
X=2のとき
Y = 2,
X=1のとき
Y = 3,
X=3のとき
Y = 1
log2x=X, logy = Yより, x=2X, y=2' であるから
(x,y)=(4,4) のとき最大値 4,
(x,y)=(2,8), (8, 2) のとき最小値3
1
01 2
3 4!
X
TRAHO
0121804
log2xy
= log2x+log2 y
また 10g216=10g224
gol=$8.gol
消去する文字 Yの条件
(Y≧1) を 残る文字
Xの条件 (X≦3) におき換
える。これを忘れないよう
に注意する。
2次式は基本形に直す
yの値はy=
てもよい。
16
x
から求め
