三次方程式の実数解の個数の問題です。 なぜx=±aがa≠0に繋がるのか分かりません、、、

日本 228 3次方程式の実数解の個数 (2) ①①①① 方程式x3ax+4a= 0 が異なる3個の実数解をもつとき, 定数αの値の を求めよ。 t 方程式f(x)=0の実数解⇔ [昭和薬大) ・基本 227 演習 233 y=f(x)のグラフとx軸の共有点のx座標に注目。 3次方程式f(x)=0 が異なる3個の実数解をもつ y=f(x) のグラフがx軸と共有点を3個もつ (極大値)>0かつ(極小値) < 0 (極大値)×(極小値) < 0 f(x)=x3ax+4aとする。 ← 3次関数では (極大値)> (極小値) 3次方程式f(x)=0 が異なる3個の実数解をもつから, 3次関数f(x) は極値をもち, 極大値と極小値が異符号 になる。 極大 y=f(x) + 1 (極大値) > 0, ( 極小値) < 0 極小 x 361 ここで,f(x) が極値をもつことから, 2次方程式(x) = 0 は異なる2つの実数解をもつ。 して f(x)=3x²-3a2=3(x+a)(x-a) f(x) = 0 とすると [x=±a このとき,f(x)の増減表は次のようになる。 >0の場合 a< 0 の場合 x 04=0のとき,f(x)=x となり極値をもたない。 x .... -a a f'(x) + 0 - 20 f(x) 極大 \ 極小 a -a 0 0 + f'(x) + + f(x) 極大 \ 極小 > f(-a)f(a) <0から (2α+4a) (-2a+4a) <0 すなわち 4a²(a2+2)(a2-2)>0 4a2 (α2+2)>0であるから a²-2>0 したがって a<-√2,√2<a αの正負に関係なく, x=α, -αの一方で極大, 他方で極小となる。 (極大値)×(極小値) =f(-a)f(a) <(a+√2)(a-√2) > 0 α≠0 を満たす。 3次方程式の実数解の個数と極値 3次方程式 f(x) = 0 の異なる実数解の個数と極値の関係をまとめると、次のようになる。 ① 実数解が1個 ② 実数解が2個 極値が同符号 または 極値なし 極値の一方が 0 ③実数解が3個 極値が異符号 a a Bx f(a)f(B)>0 α f(a)f(B)=0 pet a f(x)f(B)<0

(ア)でルートの中身の√(x^2+√x)が0以上という条件を考えないのはなぜですか？ 「-x+1が0以上」という条件に含まれているからですか？ 「-x+1が0以上」の条件に二重根号のxが 0以上という条件は含まれますか？

@ 2 3 成り立つ 2° ②かつ2x-120 つまり/12/22のとき、①の両辺を2乗しても 27 3-21≥ (2x-1)²) 4x²-2x2≦0 同値で, .. 2x2-x-1≤0 .. (2x+1)(x-1)≤0 よって1/12sxs1であり、 21/22/2とから、1/2/rs 1,2°により, 答えは,x1 ①の右辺の のとき、①の 立 (5) √4x-x> 4-x> 3 演習題 (解答はp.55) (ア) 方程式 x2+√x+r-1=0を解け. ( 札幌学院大) (イ) 不等式 3x2-12 ≦x+4 を満たすェの範囲を求めよ. (明治大・理工) (ウ) 不等式√4xx>3ェを満たすェの範囲を求めよ. (学習院大・理) 3-x (エ) を満たすの値の範囲は [ である. (関西医大) 2x 36

三角関数の問題についての質問です。青マーカーを引いたところなのですが、なぜ-4≦a≦0ではダメなのですか？軸が0、1の時も一応共有点は持つということになると思うのですが。2番目でf(0)＝0やf(1)＝0となる場合を考えているから必要ないということでしょか。

150 と 294 第4章 三角関数 Think 例題 152 三角関数を含む方程式の解の存在条件 **** OOT とする. 0 の方程式 -cos20+asin0+a=0 1 を満たす 0が存在するための定数 αの値の範囲を求めよ. ( 岩手大改) 使え方 gin0 とおくと、2倍角の公式を利用して、の2次方程式として考えることがで きる 共有点を考えるとよい . まり、その2次方程式の解の存在範囲の問題となるので、 2次関数のグラフと軸の a α Bt tのとり得る値の範囲に注意しながら, 実数解 tの存在範囲を調べればよいが, そのと ときの着眼ポイントは, 「区間の端点の符号」, 「軸と区間の位置関係」, 「判別式 ( き,上のようにいろいろな場合が考えられ, 場合分けの必要がある. 場合分けをする は2次関数のグラフの頂点のy座標)」である。 解答 t=sin0 とおくと,0≦πより, 0≤t≤1 ② cos20=1-2sin'0=12t より ①に代入して, もの値の範囲に注意 する. do-(1-2t2)+at+a=0 つまり, 2t2+ at + α-1=0 ......③3 全国でしたがって, ①を満たす 0 が存在するための条件は,区 間 ②において,tの2次方程式 ③が少なくとも1つの実数解 をもつこと,つまり,③より,f(t)=2t+atta-l とお ふとy=f(t)のグラフが区間 ②でt軸と少なくとも1つ の共有点をもつことである. m (i) f(0) f(1) が異符号のとき つまり,f(0)f(1) 0 のとき f(0)=a-1 f(1)=2+a+a-1=2a+1 したがって, (a-1)(2a+1) < 0 よって、 << if(0)=0 または f(1)=0 のとき niannie つまり,f(0)f(1)=0 のとき (a-1)(2a+1)=0 m 最終的に2次関数の 問題として捉えるこ とができるかがポイ ント 区間の端点の符号で 場合分けを考える. (注》 を参照) f(0)>0,f(1)<0 または、 f(0) < 0, f(1)>0 より f(0)f(1) <0 f(0) = 0 のとき, す 0 1 よって, a=- または a=1 でに t=0 が③の解 となるのでf(1) の符 号は関係ない. 207 0 me med

数IIの問題です。青マーカーの部分をどのように出せばいいか分かりません。よろしくお願いします。

基本 例題 197 文字係数の方程式の実数解の個数(2) 3次方程式 x3ax+2=0 が実数解をただ1つもつように, 定数αの値の範 「囲を定めよ。 ただし, α >0 とする。 CHART & THINKING 基本195 方程式を f(x) =αの形にするため, x3+2 3x -=α と変形してもy=" x+2 3x のグラフは数学 の知識がないとかけない。 よって, y=x-3ax+2 のグラフとx軸の共有点の個数を調 べる。 実数解をただ1つもつとき, 3次関数のグラフとx軸がどのような位置関係にあれば よいだろうか? 解答 f(x)=x-3ax+2 とする。 y=f(x) のグラフとx軸の共有点が1個となる条件を考えればよい。 f'(x)=3x2-3a=3(x²-a)=3(x+√a)(x-√a) f'(x)=0 とすると Na Ja x=-√a√a 38 増減表は右のようになるから,f(x) の 極大値は x (S f'(x) + 20 - 0 + f(-√a) = 2a√a+2, f(√a) = -2a√a +2 極小値は 80 f(x) 極大ゝ 極小 y=f(x)のグラフとx軸の共有点が1個である条件 は,3次関数 f(x) の極値が同符号,すなわち f(xa)(ya) となることである。 f(-√d)>0であるから,f(√a)>0 となればよい。 2a√a +2>0 から a0 であるから a√a <1 すなわち <1 0<a< 1 y=f(x) 極大 6 S 極小 + -√a X J

青チャート数1の基本問題74番の(4)(5)(6)を教えてください！ 過去の質問もみたのですが、私の実力ではわからなくて…初心者向けレベルで教えてくださるとありがたいです！ よろしくお願いします🙇

(1) a (2) b 128 基本 例題 74 2次関数の係数の符号を判定 2次関数y=ax2+bx+cのグラフが右の図のようになるとき, 次の値の符号を調べよ。 (3)c 00000 基 放 れ 上のグラフをか 0 (4)62-4ac x /p.124 基本事項 2 (5) a+b+c (6) a-b+c 指針 グラフが上に凸か下に凸か、頂点の座標, 軸の位置, 座標軸 との交点などから判断する。 YA 上に凸 (1)αの符号 α>0⇔下に凸 a < 0⇔上に凸 b2-4ac 4a a+b+c b (2)の符号 頂点のx座標 一 に注目。 -1 2a HO 1 b αの符号とともに決まる。 ! C 2a (3)cの符号y軸との交点が点 (0,c) b2-4ac a-b+c (4) 62-4acの符号 頂点の座標 に注目。 4, 平(5) a+b+c の符号 (6) a-b+cの符号 αの符号とともに決まる。 y=ax2+bx+cでx=1とおいたときのyの値。 y=ax2+bx+cでx=-1とおいたときのの値。 (1)グラフは上に凸であるから a<0 解答 y=ax2+bx+c(*) の頂点の座標は (*) y=ax2+bx+c b 62-4ac =(x+2) b 2a 2a' 4a b2-4ac b 頂点のx座標が正であるから ・>0 2a よって b 2a <0 (1)より,a<0であるからb>0 4a AとBは 同符号。 ●レ (3) グラフはy軸とy<0の部分で交わるから c<0 (4) 頂点のy座標が正であるから b2-4ac 4a >0 (1) より, α < 0 であるから b2-4ac > 0 (5) x=1のとき B <OAとBは 異符号。 (4) グラフとx軸が 異なる2点で交わる から,b2-4ac>0 y=a•12+b・1+c=a+b+c グラフより, x=1のときy>0であるから a+b+c0 (6)x=1のとき y=a・(-1)+6・(-1)+c=a-b+c グラフより,x<0のときy < 0 であるから a-b+c<0 ■ 練習 2次関数y=ax2+bx+cのグラフが右の図のようになるとき ③ 74 次の値の符号を調べよ。 (1)c (4) a+b+c (2) b (3) b2-4ac (5) a-b+c を導くことができる。 詳しくは p.175 を参 照。 検討

①について、どこを見てふたつは同符号と言えますか？ また、同符号という言葉を正の符号と書くのはダメですか？？ ②について、なぜAN＜3なのにANに3を代入してるんですか？

例4 a1 = 1, an+1 = V2an+1で定義される数列{an} の極限が 存在することを証明し,その極限を求めよ. まずこの数列が単調数列であることを示す. 定義により, An+1 - an = √2an +1 V2an-1 +1 (2an+1) - (2an-1 + 1) = V2an + 1 + V2an-1 +1 2(an - an-1) = V2an + 1 + V2an-1 +1 である. よって,an+1 -a と an であるから a1 < a2 であり、 よって は同符号であり, a1 = 1, a2= V3 ① A1 < A2 < A3 < α4 < . . . となることが分かる. よって,{an}は単調増加数列である. 次に適当に am<3と見当をつけると,an+1= V20 +1. 2 3となり,{a}は上に有界である. V23+ よって,{a} は収束する.そこで, lim an = a と置く. このとき, n→+∞ a = √2a +1が成り立ち, α = 1 ±√2 を得る. 今, an >0よりα > 0 で あり,よって, を得る。● lim a = 1 + V2 n→+∞ 16

連立方程式について質問です 連立方程式は同符号のときは減法で異符号のときは加法なのに、なぜ画像の問題は同符号なのに加法になっているんですか? 教えてください！🙏

x=-4, y=-7 (-x+3y=8 …① (2 6x+5y=-22 (4) 1×6 ② +) -6x+18y = 48 6x+5y=-2 23y = 46 y = 2 y=2を①に代入すると -x+3x2=8 -x=2 x = -2

数学の図形と方程式についての質問です。水色マーカーを引いたところなのですが、xy≠0とは具体的にxとyがどのような値のときのことを指しているのでしょうか。また、(2)でX二乗 +Y二乗≠0なので…とありますが、なぜX＝Y＝0を除くのでしょうか？

208 第3章 図形と方程式 Think 例題 107 反転による軌跡 **** 原点を端点とする半直線上の2点P(x, y), Q(X, Y) が OP・OQ=4 を 満たしている. (1) x, y を X,Yで表せ. (2)点Pが直線2x+y=1上を動くとき,点Qの軌跡を求めよ. [考え方 点Pは半直線OQ上にあるから, OP:OQ=t:1(t>0) とおける my 3点 O P Q は, 0 t<1 のとき, 0.P.Qの順に,t>1の とき 0 QPの順に並ぶ. 解答 また,OP=√x+y0Q=√X+Yであり,xy=0のとき x と X,y と Yは同符号より OP:OQ=x: X=y: Y である. Y .8) A メー (1)点Pは半直線OQ上にあるから, OP:OQ=t: 1 (t>0) とおける. OP=tOQ であり,OP=√xty, OQ=√X2+Y2 より, OP:OQ=tOQ=t(X2+Y2) OP・OQ=4 より t(X2+ Y2)=4 これより X2+Y20 であるから, t= X2+12 xy=0 のとき,x と X, y と Yは同符号より, OP: OQ=x: X=y: Y=t: 1 (t>0) x Xx 解 Comment <反転と 定点 半直線 点Qを対 反転の中 〈円や直 (I) 反 (II) 反 (Ⅲ) P (IV) 円や 題である がこの した。 4X したがって,x=tX より ① を代入して, x= 2 X2+Y2 同様にして, 4Y y=ty=- X2+Y2 ......③ x=0 のとき, X=0 より ② に含まれ, y=0 のときも同様に③に含まれる。 (証明 010 を 4X 4Y よって, x= X+y2, y= X2+Y2 Xb (2) 2x+y=1 に② ③ を代入すると, 2. 4XX 4Y + X2+Y2 X2+Y2 =1 ○とか 8X +4Y = X2+Y2 より, (X-4)+(Y-2)=20 0=Y. ただし,X+Y=0 より X=Y=0 を除く. よって、点Qの軌跡は, (0)M 0=8+X+- 【X' + Y' = 0 となるのは, |X=Y=0 のとき (9-0)0-+ 練習 中心 (4, 2), 半径2√50円 ただし, 原点を除く. 注〉定点0を端点とする半直線上の2点P Q について, OP・OQ=k (kは定数k>0) の 関係で点 Q を点Pに対応させる(これを「反転」 とよぶ) と,円が直線に変換されたり, 直線が円に変換されるなど,これまでにない図形の対応関係が生まれる. (次ページ解 説を参照)封 原点を端点とする半直線上の2点P(x, y), Q(X, Y) が OP・OQ=1 を減 [107] たしている. ****(1)点Pが原点を通る直線 ax+by=0 上を動くとき,点Qの軌跡を求め。 (2)P (x+1)^2+(y-2)=5 上を動くとき,点Qの軌跡を求めよ。 (3)点Pが原点を通らない円(x-a)+(y-b)=r上を動くとき,点Qの 跡を求めよ. ただし, r>0 とする。 反 は

なぜ75の答えはどちらでもいいのに76の答えは1つしかダメなんですか？

■0周年 IDE 130 海にま 指針 シン 昔の活 あと1 基本 例題 76 2次関数のグラフの平行移動 (2) 20 2次関数y=2x2+6x+7 y=2x2-4x+1 ①のグラフは,2次関数 000 ②のグラフをどのように平行移動したものか。基本事項 x 軸方向に 1, y 軸方向に -2 だけ平行移動すると,放物線 C:y=2x2+8x+9 に移されるような放物線Cの方程式を求めよ。 (1) 頂点の移動に注目して考えるとよい。 まず,①,② それぞれを基本形に直し、頂点の座標を調べる。 (2) 放物線Cは, 放物線 C を与えられた平行移動の逆向きに平行移動」 ある。 p.124 基本事項 3 ② を利用。 (1) ① を変形すると y=2(x+3)²+55/5 5 ①の頂点は点 (12/31) y=2(x-1)2-1 ②を変形すると ②の頂点は (1,-1) 3-2 vico 5-2 ② [9] 0 1 x ② のグラフをx軸方向に p, y 軸方向に q だけ平行移動 したとき, ① のグラフに重なるとすると 1点 グラ した。 ①:2x2+6+7 =2(x2+3x)+1 =2+2+3+ -2.1 ②:2x2-4x+1 ① 点 x軸 3軸 原点 ② 関 x 原 車 解説 ■ 対称移 平面上 =2(x²-2x)+すこと =2(x²-2x+1 特に, -2-12+1 ヤー ミチー 解答 チャート 原点を (a 15 1+p=123-1+g=/2/27 (*) 頂点の座標の ゆえに p=− q= 5 2 7(*) 見て, 2 3 55 (S- -1=- よって,①のグラフは,②のグラフをx軸方向に一 5 2 2'2 7 2 としてもよい。 放物 2 軸方向に だけ平行移動したもの。 したがって y=2x2+12x+21 JST y=2(x+3)+3_ (2)放物線Cは,放物線 C を x 軸方向に -1, y 軸方向に 2だけ平行移動したもので,その方程式は』(S) メー y-2=2(x+1)+8(x+1)+9_ 9 (8+x)s- 別解放物線 C の方程式を変形するとy=2(x+2)2+1 よって,放物線 C の頂点は点(-2, 1) であるから,放 物線Cの頂点は 点(-2-1, 1+2) すなわち 点(-3, 3) ゆえに、放物線Cの方程式は ly-y-2 換え。 頂点の移動に着 法。 X す 重 軸方向に1, 放物 (1- y軸方向に - 2 得 C 軸方向に と C 軸方向に2 Q [x→x-(-1) す

（4）でなぜ分母の4aが消えているんですか？

基本 例題 74 2次関数の 2次関数y=ax2+bx+cのグラフが右の図のようになるとき, 次の値の符号を調べよ。 基本例 b2-4ac (1)a b C a+b+c X /p.124 基本事項 2 a-b+c 放物線y=- れる放物線 次の 指針 グラフが上に凸か下に凸か、頂点の座標,軸の位置,座標軸 との交点などから判断する。 |指針 解泪 y b2-4ac (1) αの符号 α>0⇔下に凸 a<0⇔上に凸 b (2)の符号 頂点のx座標- - に注目。 2a αの符号とともに決まる。 I 4a a+b+c-- -1 0 C 1 b 2a 上に凸 1 (3)c符号y軸との交点が点 ( 0, c) (4)62-4ac の符号 頂点の座標 - (5)a+b+cの符号 αの符号とともに決まる。 la-b+c T+GS+ S y=ax2+bx+cでx=1とおいたときのの値。 y=ax2+bx+cでx=-1とおいたときのの値。 b2-4ac に注目。 4a (6) a-b+cの符号 解答 (1) グラフは上に凸であるから a<0 (*) y=ax2+bx- 解答 b (2) y=ax2+bx+c(*) の頂点の座標は 2a' b2-4ac 4a b 頂点のx座標が正であるから ・>0 b2-4ac Aa 2a よって b 2a <0 (1)より,a<0であるからb>0 AB > 00 >0⇔AとB 同符号 (3) グラフはy軸とy<0の部分で交わるから c<0 A <OAとBは b2-4ac B 符号。 (4) 頂点のy座標が正であるから (1) より, a< 0 であるから b2-4ac > 0 (5) x=1のとき 4a >0 (4) グラフとx 軸が 異なる2点で交わ から ac y=a・12+6・1+c=a+b+c グラフより, x=1のときy>0であるから a+b+c>0 (6) x=1のとき y=α・(-1)'+6(-1)+c=a-b+c グラフより くのときゃくであるから を導くことができる 詳しくは p.175を 照。