アラス
A
基本 例題 41 2つの2次方程式の解の判別
k は定数とする。次の2つの2次方程式
x2-kx+k2-3k=0
①. (k+8)x2-6x+k=0
について,次の条件を満たすkの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1) ① ② のうち、少なくとも一方が虚数解をもつ。
(2)①②のうち,一方だけが虚数解をもつ。
0000
指針②については, 2次方程式であるから,x2の係数について, k+8≠0 に注意。
①,②の判別式をそれぞれD, D2 とすると, 求める条件は
(1) Di<0 または D2<0 →解を合わせた範囲 (和集合)
(2)(D<0 かつ D≧0) または (D1≧0かつD2<0) であるが,数学Ⅰでも学習した。
うに,D,<0, D2<0 の一方だけが成り立つ 範囲を求めた方が早い。
チャート式基礎からの数学Ⅰ+Ap.200 参照。
CHART 連立不等式 解のまとめは数直線
②の2次の係数は0でないから k+8≠0 すなわちkキー8普通,2次方程式
解答 このとき,①②の判別式をそれぞれD,D2 とすると
D=(-k)2-4(k2-3k)=-3k'+12k=-3k(k-4)
D2=(-3)-(k+8)k=-k-8k+9
=-(k+9)(k-1)
(1) 求める条件は,kキー8のもとで
D<0 または D2<0
ax2+bx+c=0とい
うときは、特に断りが
ない限り、2次の係数
αは0でないと考え
る。
D<0 から k(k-4)>0
kキー8であるから
ゆえに k < 0,4<k
k<-8,-8<k < 0, 4<k ...... ③
D<0 から (k+9)(k-1)>0
よって
k<-9,1<k ...... ④
せて
求めるkの値の範囲は,③と④の範囲を合わ
k<-8,-8<k<0, 1 <k
-9-8
01
4
(2)①②の一方だけが虚数解をもつための条件
D<0, D2<0 の一方だけが成り立つことで
ある。
ゆえに③④の一方だけが成り立つんの範囲
を求めて-9≦k<-8,-8<k < 0, 1 <k≦4
■
x2+4ax+5-a= 0
2次方程式
①, x2+3x+3a2= 0
1 条件を満たす定数αの値の範囲を求めよ。
①②がどちらも実数解をもたない。
-9-8
01
k
4
② について,次の
[ 久留米 ]
