686 第10章 空間
Check
例 題 387 空間の位置ベクトル(1)
OA=G, OB=5, OC=c とする。
Ch
D
G。
A
線OG と底面 ABC との交点をHとする。
oG および OH を a, b, c を用いて表せ。
(2) 四面体 OABC において, △ABC の重心をG.
辺OAの中点を M, 平面 MBC と直線 OG との
交点をNとする.ON を a, b, c を用いて表せ、A
また,ON:NG を求めよ。
4H
E
B
0
M
IG
B
(1) 点Hについての2つの条件をベクトルで考える.
(i)点Hは直線OG上にある
TBC 錠
(i) 点Hは平面 ABC 上にある
考え方
(ロ-)
解答(1) Gは ADEF の重心より,
△ABCの重心G
a+ó,c
2_2a+6+2
a+6+c
a
OD+OE+OF」2
OG=
OG=
3
Eは ABの中点より
2
3
6。
3
OH=kOG(kは実数)
3点0, G, Hは一直線上より,
0より。
OE=
2
し万
OH=k{
k-
-C
6
6
2a+16+1c
k
点Hは平面 ABC上の点より,0sk++=1 仕 和が4
(0-8)
よって,k=
k
代 9和
に着目すると,
4.2a+ō+c
6
6
3
OH=3oG=2a+6+¢
2
3
より,
(2) Gは△ABCの重心より,
食謝はOG=
6
4
BA平04
H
……①OGをOM, OE.
OCで表す。
oG=a+5+_2+6+3
20M+OB+0C
%D
3
3
3
3点0, N, Gは一直線上より, ON=kOG(kは実数)
0より,
2
ON=k-OM+-OB+-OC
3
oM 家
1
2k
k
- 0C
OB+
3
3
3
3
点Nは平面 MBC上の点より,
2
十十3
k,k
10%
=1
OM, OE, OC の係
3
w
よって, k=-
3
より, ON=3
0G=4+6+
数の和が1
w
4
-OG:
4
また, ON=2OG より,ON:NG=3:1
A
0
