[1998 東京都立大]
整式f(x) について, 恒等式f (x2)=xf (x+1)-2x+2x2 が成り立つとする.
(1) f(0), f(1), f (2) の値を求めよ.
(2) f(x) の次数を求めよ.
(3) f(x) を決定せよ.
解説
(1) 与式に,x=0を代入するとf(0)=0
x=-1を代入すると f(1)=0
x=1 を代入すると f (2) = f(1) = 0
よって f(0)=f(1)=f(2)=0
1530 251th²²) = x²³ f(x+1)=2x²+2x²
(2) f(x) の次数をnとする. f(x) は恒等的に0ではないから, (1) より n ≧3である.
ここで, 恒等式の両辺の次数を比較すると 2n=n+3
よって n=3
(3) (1), (2) の結果から f(x) = ax(x-1)(x-2) と書ける.
よって f(x2)=ax2(x2−1)(x2-2),f(x+1)=a(x+1)x(x-1)を恒等式に代入すると
ax2(x2−1)(x2-2)=x・α(x+1)x(x-1)-2x+2x2
更に, x 2の項の係数を比較すると 2a=2
ゆえにf(x)=x(x-1)(x-2)=x3-3x2+2x
よって α=1
