重要 例題 38 ant = pa," 型の漸化式
| a1=1, an+1=2√an で定められる数列{an} の一般項を求めよ。
00000
【類近畿大
指針 がついている形, an² や an+13 など 累乗の形を含む漸化式 an
解法の手順は
an+1=pa
① 漸化式の両辺の対数をとる。 an の係数かに注目して、底がりの対数を考える。
10gpan+1=10gpp+logpang
すなわち 10gpan+1=1+glogpan
2 10gpan=bn とおくと
bn+1=1+gbn
→
-logeMN = logM+log.N
loge M=kloge M
bn+1=bn+▲の形の漸化式 (p.464 基本例題 34 のタイプ)に帰着。
対数をとるときは, (真数)>0 すなわち a">0であることを必ず確認しておく。
CHART 漸化式 αn+1=pan" 両辺の対数をとる
α=1>0で,n+1=2√an (>0) であるから,すべての自
解答然数nに対してan>0である。
よって, an+1=2√an の両辺の2を底とする対数をとると
10gzAn+1=10g22√an
log2an+1=1+110gzan
2
bn+1=1+1/26n
ゆえに
初
10gzan=bn とおくと
これを変形して
bn+1-2=(bn-2)
ここで
b1-2=10g21-2=-2
> 0 に注意。
厳密には,数学的帰納
で証明できる。
log₂(2.an)
=log22+ log.
特性方程式=1+10
基本
α=2,
(1)
n
(2) ar
指針
解答
よって, 数列 {b,-2} は初項 -2,公比 1/2の等比数列で
n-1
b-2=-20
=-2(12) - すなわち bn=2-22-
を解くと α=2
12
したがって, 10gzan=2-22 から
an=22-22-
\n-1
=21-
logaan-pan-d
早
検
PLU
anan+1 を含む漸化式の解法
実討
anan+1 のような積の形で表された漸化式にも
例えば
両辺の対数をとるが有効である。
LON
