プロセス
放物線y=21212x① と x+(yd) = r (a>0,r> 0)…. ② につ
いて、次の条件を満たすようなαの値の範囲を求め、 rをの式で表せ。
(1) 放物線 ① と円 ② が原点0で接し、かつ他に共有点をもたない。
(2) 放物線 ① と円 ② が異なる2点で接する。
見方を変える
去
/①②
を連立
についての4次方程式 〔別解1]
次数が高い
についての2次方程式 [本解〕
次数が低い
対応を考える ↓
解は共有点のy座標を表す。
図形はy軸対称であり、解と共有点
の対応は右の図のようになる。
条件の言い換え
yについての2次方程式が
(1) y ≧0 において, 解がy=0 のみ
(2) y>0 において、 重解をもつ
1①より,x²= 2y であり y≧0
②に代入すると
2y+(y—a)² = y²
y²+2(1—a)y+(a² − r²) = 0
(1) 題意を満たすのは, ③ が y = 0
を解にもち,y>0 の範囲に解を
もたないときである。
y = 0 が解であるから
a² r² = 0
> 0, r>0であるから r = a
このとき, ③は
y2+2(1-α)y=0
y{y+2(1-a)}=0/
よって、 ③のy=0 以外の解は/
y=2(a-1)
(1)
2(a-1)≧0より 0<a ≤1
したがって
0<a≦1,r= a
y>0 の解は
共有点2つに対応
Action》 円と放物線の共有点は, 連立してx を消去せよ
:
y=0の解は
接点1つに対応
O
1
x
(2)
2
YA
2
xを消去する。
yの範囲は y≧0であ
る。
共有点が原点のみである
から, y ≧0 においては、
y = 0 しか解はない。
また,このとき, グラフ
の対称性から,原点で接
するといえる。
これが正であってはいけ
ない｡
*2 a-1) = 0 のときも含
まれることに注意する。
