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練習 5桁の整数nにおいて, 万の位, 千の位, 百の位, 十の位、一の位の数字をそれぞれa, b, c,
@ 34 d e とするとき, 次の条件を満たすnは何個あるか。
(1)a>b>c>d>e
(1) 0,1,2,
(2) a≥b≥c≥dze
9の10個の数字から異なる5個を選び, 大き
(3) a+b+c+dte≦6
←a>b>c>d>e から、
い順にα, b, c, d, e とすると, 条件を満たす整数nが1つ定 0 となる。
まるから
(2)0, 1, 2,...,
10C5252 (個)
9の10個の数字から重複を許して5個を選び、
大きい順に a, b, c, d, e とすると, a≧b≧c≧d≧e≧0 を満た
a=b=c=d=e=0の場合は5桁の整数にならないから、 求め
す整数a, b, c,d, e の組を作ることができる。 このうち,
整数nの数は
10H5-1=10+5-1C5-1=uC5-1=2002-1=2001 (個)
(3) A=α-1とおくと, a≧1であるから
また, a=A+1であるから、条件の式は
(A+1)+b+c+dte≦6
よって
A+b+c+d+e≦5
ここで, f=5-(A+b+c+d+e) とおくと,
A+b+c+d+e+f=5
420
←○5個と9個の列
を利用して,C-1と
してもよい。
注意
だけ
が1以上では扱いにくい
から、おき換えを行う。
①
求める整数nの個数は,① を満たす 0 以上の整数の組
(A, b, c,d,e, f) の個数に等しい。
ゆえに、異なる6個のものから5個取る重複組合せの総数を考
えて
6H5=6+5-1C5=105=252 (個)
別解 まず, a≧0として考える。
f=6-(a+b+c+d+e) とおくと, f≧0で
a+b+c+d+e+f=6
これを満たす0以上の整数の組 (a, b, c,d,e, f) は
*A+b+c+d+e=k
(k=0.1,2,3,4,5) と
して考え HotsH
+H+6H+5Ha+5H5
=Ca+sCi+C2+C3
+8C4+Cs
252 (個) でもよい。
←αが0以上の場合から
αが0の場合を除く方針。
6H6=6+6-1C6=11C611C5=462(個)
また, a=0 のとき, 条件の式は
b+c+d+e≦6
g=6-(b+c+d+e) とおくと, g≧0で b+c+d+e+g=6
これを満たす0以上の整数の組 (b,c,d,e, g) は
5H6=5+6-1C6=10C6=10C4=210 (個)
よって, 求める整数nの個数は 462-210252 (個)
