1+2+
コース
上のときにちは成り立つ。
-3h+h³>0
1+3h2
の差を考えると、
う
(0)
2
(1+4)*¹1+*+*
きにも成り立
+16 DAM -
(15 (2) #5
EAN (2) 84+6-31m
くさむ様に
よって、(A)は成り立つこ
5461-31m
1=2 3 41
-5-31m+31-6-31(5m +61)
5m +62-1は散であるから。
31で割り切れる｡
よって、+1のときにも(A)は成り立つ。
(1) から すべての自然数について(A)は
(271149で割り切れる」 (A)とす
(2)
[1]x=2のとき
2-7N-1-2¹²-7-2-1-49
よって、n=2のとき、(A)は成り立つ。
て,n=kのとき (A) が成り立つ。
すなわち2-7k-1は49 で割り切れると仮
定すると、 ある整数を用いて次のように表
される。
2-7k-1=49m
n=k+1のときを考えると
236+1-7(k+1)-1=8-2-7k-8
=8(2-7k-1) +49k
=8.49m+49k
=49(8m+k
はまり
①が成り立つ、すなわち、
k+2②
+2(+1)+1
³+4+3(+1).
両辺をx+1(0) で割ると
すなわち (+1(+3)(k+1
ai +3
よって、nak+1のときにも①は成り立つ。
1 (2) すべての自然数nについてのは
指
であるから、nwk.k+1の場合をして､
nk+2の場合を示す。 したがって、前段階。
***² +*+²=(x²+¹+x²+³)(x+y)-xxx²+x²
では、n=2 の場合を示す。
x+y=x+y
x+y=(x+y-2xy
n=2のとき
x+y.xyはともに整数であるから､n=1.2
(2)n=k,k+1のとき, x+y" が整数である。
のとき, x+y" は整数である。
すなわち, x+y+y*+3はともに整数
であると仮定する。
n=k+2のときを考えると
x²+² + y² +2
連続する整数
連続する m個の整数には、必ずmの倍数が含まれるから、それらの積は3の倍数である。
参考km (kは自然数とすると,連続するn個の整数には、必ずんの倍数が含まれる
から,それらの積はkの倍数である。したがって、連続するm個の整数の積は!
の倍数である。
STEP B
97(1) 整数nを2で割った余りで分類することで3²-nが2の倍数である
ことを証明せよ。
[2]
(2) 整数nを3で割った余りで分類することで,n-n+9が3の倍数であ
ることを証明せよ。
=(x+y+1)(x+y)-xy(x+y^)
仮定より ++++y*は整数であり
x+y, xy も整数であるから+y+2は整
数である。
98 nは整数とする。
(1) 連続する2個の整数には、必ず2の倍数が含まれることを利用して,
n²+3nが2の倍数であることを証明せよ。
(2) 連続する3個の整数には,必ず3の倍数が含まれることを利用して,
4n²+3m² +2nが3の倍数であることを証明せよ。
ずと
951
[1
12
9
nは自然数とする。 6" +4=(5+1)" +4 と変形することで, 6 +4が5の倍数
であることを,二項定理を利用して証明せよ。
