362023年度 数学(解答)
<解説>
<複素数の表す図形, 整数問題≫
laz+1
►(1)
z+α
慶應義塾大 - 理工
=2|az+1=2|z+α| ....･･ ① かつ z≠-a
(複素数 αは±1ではない)
①において, z= -α とすると, - +1=0 より α = ±1 となり, 条件を
満たさない。 したがって, z≠-α は ①に含まれるので,①を考察すれば
よい。
|a|=2 →(チ)
のときは|al/z+2=2|z+α すなわち
となり、この等式を満たす点全体からなる図形Cは直線となる(2g
-a,
1を結ぶ線分の垂直二等分線)。
次に①の両辺を平方して式変形をする。
|az+1=22|z+α|
(az+1)(az+1)=4(z+α) (z+α)(
(az + 1) (az+1)=4(z+α) (z+α)
aazz+az+az+1=4 (zz+az+az+aa)
|a|°/z+αz+αz+1=4|z|+4az+4az+4|2
(a-4)2+(a−4a) z+(a-4a) z+1-4|a|=0......2
したがって, |α|≠2のとき
a-4a
+-
-z+
070a-4 la-4
1-4/a
=0
lal²-4
a-4a
zz+
a-4a
z+
la-4 a²-41
z+
4/21-4/
-=0
la-4
(2+i
a-4a
a-4a
la-4a
1-4a²
+
++
=
(la²-4)2
la-4 Tal²-
a-4a
la-41
(a-4a) (a-4a) (1-4a) (a-4)
la-4a²-4a²+16|a²-a²+4+4a-16a²
(la-4)2
(la-4) la-4
(la²-4)2
慶應義塾大理工
..
a-4a
4-la
2023年度 数学 <解答> 37
4\a\'-4a²-4a²+44 (a²-1) (a²-1)
(la-4)2
(la²-4)²
4 (a2-1) (a²-1)
4a²-112
(la²-4)2
(la-4)2
a²-1
a²-4
よって, α ≠2のとき, ①を満たす点 全体からなる図形Cは円となり
中心は
a-4a
→(ツ)
4-a730
a²-1
半径は
2
||a|²-4
である。
直線Cは, |α| =2のときの②より
(a-4a) z + (a-4a) z=15
虚
軸
ABz
O
15 実軸
2
と表される。 α-4α =β (≠0) とおくと
Bz+Bz=15
..(ßzの実部)=
15
2
したがって, Bz の表す直線は、
15
2
を通り,実軸
り
に垂直な直線である。 よって, Bz の最小値は -
15
である。
2
15
15
B
228
(B=0)
ここで、等号が成り立つのは,(ßzの虚部)=0のときであるから
+15
Bz=
15
すなわち z= (β≠0)
20
2B
のときである。したがって, la =αα=4を用いて,求めるは
15
15
15
15a
z=
=
(テ)
2B 2(a-4a)
できる。
2 (a2-16)
2(a-16)
(4)(
である。
別解 (1) アポロニウスの円の知識を用いる方法>
|αz+1|=2|z+α| ...... ①
14 2023年度 数学
慶應義塾大 理工
慶應義塾大 理工
5
OA
Mon
(1) αを±1ではない複素数とする。 複素数平面上で
az+1
=2を満たす点 全体から
z+α
なる図形をCとする。 Cはαが (チ)を満たすとき直線となり,(チ)を満たさない
(ツ)
とき円となる。αが (チ)を満たさないとき 円Cの中心をαを用いて表すと
となるαが(チ)を満たすとき, 直線C上の点zのうち、 その絶対値が最小となるもの
をαを用いて表すと
(テ) となる。
【物理
(2科目120分)
2023年度 物理 15
