定積分を用いた不等式の証明
例題
8
関数y=1の定積分を用いて,次の不等式を証明せよ。
1 1
1+ + +
1/1/1
> log(n+1). ただし, nは自然数
3
n
1
x>0で,y
は減少関数である。
x
自然数kに対して,k≦x≦k+1のとき 1/12/12/2
k
x
VAI
また, k<x<k+1 で等号は
y=+* (x)}
成り立たないから
k+1
k+1 dx
St" dx > St" de
2
k
k
k
k+1
dx
よって
+ > fod
k
O
1 2 3
nn+1 x
k
x
上の式で,
k = 1, 2, 3,･･･, n とおき, 辺々加えると
・3
•n+1
1
1
1
dx
1+
¹ + ² + ² + ² + ² / > d
S²³ dx + ² dx² + ... + √² ² ²
3
n
x
2
x
n
1
ck+1
1
M
1
dx
¹ + ² + + + - -- + + > 2 / 4 x
1+
この面積の和
2
3
n |k=1k
xC
n
•k+1
on+1
dx
Ž[*** dx
S
k=1k
x
1
XC
=log(n+1)
1+1/+1/3+1/23 > Log(+1)
n
◆証明
右辺は
ゆえに
=
+
= [log.x] +1
