スーム 2次関数の最大·最小問題と場合分け
UP
ここでは,場合分けの方針について, 例題79 をもとに詳しく考えてみることにする。
軸の位置で場合分け
f(x)=(x-a)°-α°+3a
軸は直線x=aであるが,右
の図のように,文字aの値が
変わると,軸(グラフ)が動
き,区間0Sx<4で最大 最
小となる場所が変わる。
よって, 軸の位置で場合分けをする。
(思考力
軸
軸
3章
軸が
動く
10
軸が
動く
x=0 x=4
x=0 x=4
x=0 x=4
最大値を求める
ソ=f(x) のグラフは下に凸の放物線で, 軸から遠いほどyの値は
大きい(右図を参照)。
(思考力
判断力
軸
の
0+4
したがって,軸 x=aと区間の中央の値2(=",")の関係 がポ
2
イントになる。よって, 区間0Sx<4の両端から軸までの距離が
等しくなるようなaの値である a3D2が場合分けの境目 となる。
[2]軸が区間の中央に一致
軸
[1]軸が区間の中央より左
[3]軸が区間の中央より右
軸
区間の
中央
大
区間の
中央
|x=2|
x=0 x=ax=4
x=0の方が軸から遠い。
x=2
x=0 x=2 x=4
区間の両端から軸まで
の距離が等しい。
x=0 x=a x=4
x=4の方が軸から遠い。
最小値を求める
思考力
判断力
ソ=f(x)のグラフは下に凸の放物線で, 軸が区間0<x<4に含まれれば頂点で最小と
なる。ゆえに,軸が区間0<x<4に含まれるときと含まれないとき,更に含まれない
ときは 区間の左外か右外か で場合分けをする。
[4] 軸が区間の左外
[6] 軸が区間の右外
軸大最
|+八
[5] 軸が区間の内
区間の右端で最小]
小て、次の
x=4x=a
区間の左端で最小
頂点で最小
x=0
x=0 x=a x=4
x=a x=0 x=4
2次関数の最大·最小と決定
|の
-,最大
-- 最大