赤で囲った部分 増減表の-+てどうやって分かるんですか？ シータを動かすイメージからですか？

103 最大･最小の応用問題 (1) aを正の定数とする。 台形 ABCD が AD // BC, 基本 10 103 例題 |AB=AD=CD=α, BC >α を満たしているとき、台形の [類 日本女子大 ] ABCDの面積Sの最大値を求めよ。 ・基本 98 重要 104 \ 詳しく(各画) ∠ABC=∠DCB=0 とすると, 解答 0 <8<1で,右の図から HC 文章題では,最大値･最小値を求めたい量を式で表すことがカギ。次の手順で進める。 ① 変数を決め、その変域を定める。 指針 ② 最大値を求める量 (ここでは面積 S) , ① で決めた変数の式で表す。 ③② の関数の最大値を求める。 この問題では,最大値を求めるのに導関数を用いて 増減を調べる。 S= この問題では,AB=DC の等脚台形であるから,∠ABC=∠DCB=0 として,面積 S を9 (と定数α)で表すとよい。 -{a+(2a cos 0+a)}.asin0 =a² sin 0(cos 0+1) ds do Ips よって数 sta) dS=0 とすると do cos0=-1, 0<θ< < π π 0 = 3/ から -α² をとる。 3点O(0, 0), 1 2 0 =a^{cose(cos0+1)+sin0(-sin 0)} =a^{cos B(cos0+1)-(1-cos20)} =a²(cos 0+1)(2 cos 0−1) ds do S B 0 ... ・題材は平面上の図形 ①① す。ただし,00とする。 : + KER asin0円 HO a- a cose. π 3 0 極大 3√3 T π 00におけるS の増減表は右上のようになるから, Sは0=173 で最大値 3√3 B 2 A D <BC> AB=AD = CD から 0<0<π K<E 2 1/12/3× -×(上底+下底)×高さ Sを0で微分。 別解頂点Aから辺BCに 垂線AHを下ろして、 BH = x とすると |S={a+(2x+a)} x√√a²-x² =(x+a)√a^²-x2 これをxの関数と考え, 0<x<a の範囲で増減を調べ る。 4 章 4 関数の値の変化、最大・最小 A ( 12, 0), P(cos, sing)と点Qが,条件 OQ=AQ=PQ を満た [類 北海道大]

微分の最大最小を求めるような問題で 増減表はよく書きますが 赤で囲った部分の+とかーとかってどうやって求めるんですか？ また、極地と端の値を比べれば良いだけなので増減表を書く必要はないと思うのですが なぜ書くのですか？

頭角 うに |練習 ③ 100 172 について,次の問いに答えよ。 4sinx+3cosx+1 関数y= 7sin x+12sin2x+11 (①) f=4sinx +3cosx とおくとき,のとりうる値の範囲を求めよ。 1で表せ。 〔類 日本女子大] (2) yの最大値と最小値を求めよ。 SI 解答 100 関数の最大・最小 (3) ・・・おき換え利用 10 Hyper 指針 (1) 三角関数の合成を利用。 また, t = (4sinx+3cosx) を考えると, の式が現れる。 (2) (1) の結果を利用して,yをtの分数関数で表す (簡単な式に直して扱う)。 yをtで微分。 また,そのとりうる値の範囲に注意 して最大値と最小値を求める。 DAMNED CHART 変数のおき換え 変域が変わることに注意 (1) t=√42+3°sin(x+α)=5sin(x+α) ただし よって -1≦sin (x+α)≦1であるから また t2=(4sinx +3cosx) 2 =16sin x+24sinx cosx+9cos2 x |=7sin'x+12sin2x+9 sino=2/31, cosar=1/30 5 y y= 0 極小 1-3 4 1+√/3>-4 1-√3 4 27 (4sinx+3cosx)+1 (7sin²x+12sin2x+9)+2 1.(t2+2)-(t+1)・2t t2+2t-2 (2+2) 2 (²+2)² (2) y'=- y'=0 とすると t2+2t-2=0 これを解くと t=-1±√3 5≦t≦5 におけるyの増減表は次のようになる。 to -5 |-1-√3 -1+√3 Vº 27' t=-1+√3 で最大値 -5≤t≤5 < == 1+√3 4 + = 0 |極大 1+√3 4 t+1 t²+2 1 7 LO 5 であるから,yは 0<x< を満たす実数xに対して, t=tanx とおく。 6 (1) tan 3x をtで表せ。 (2)xが0<x<1の範囲を動くとき, tan³x YA の量は 3- 0 また、 大量う yの式の LYO 5 a 4 <(") = ² 13 H 4 t2=9(sin'x+cos'x) +7sin²x+12•2 sinxcosz t=-1-√3で最小値1-√3 u'v-uv 02 +√3 y= 672√3 ±1 2(√3+1) E t=-1±√3のとき _ ± (√3 ±1) 2(3-1) =1± √3 4 10 関数 y=ex{2x2 定数の値を求 基本 X 4 5130 例題 をとる。 指針 (複号同順) 解答 最大値 ここで 端点に なお CH y'= [1

赤線で囲った部分、分母を平方完成していますが 何をいっているのでしょうか

もよ C 解答 練習 ② 95 例題 基本 aは定数とする。 関数f(x)= たは範囲をそれぞれ求めよ。 (1) f(x)がx=1で極値をとる。 指針 95 関数が極値をもつための条件 x+1 x2+2x+α について,次の条件を満たすaの値ま f(x) は微分可能であるから f(x) が極値をもつ [[1] f'(x)=0 となる実数α が存在する。 (f'(x) / [ [2]x=αの前後でf'(x) の符号が変わる。>0 f'(x) = - (2) f(x) が極値をもつ。 極 小 まず必要条件 [1] を求め, それが 十分条 件 [2] も満たす) かどうかを調べる。 f'(x) = 0 (1) = 0 を満たすaの値 (必要条件)を求めてf(x) に代入し,x=1の前後で f(x) の符号が変わる(十分条件) ことを調べる。 /P.162 基本事項 2. 基本 94 重要 96 180 なお、極値をとるxの値が分母を0としないことを確認すること。 10円 定義域は、x2+2x+a≠0 を満たすxの値である。すら 1. (x²+2x+a)=(x+1)(2x+2) (x2+2x+α) 2 =x2+2x-a+2 (2) f(x) = 0 が実数解をもつためのαの条件 (必要条件) を求め、その条件のもとで, f(x) の符号が変わる(十分条件) ことを調べる。 f'(x)=0 (x2+2x+α)2 (1) f(x) は x = 1 で微分可能であり,x=1で極値をとる f'(1) = 0 関数f(x)=- ekx x2+1 f'(x) <0 <0 fland to よって, 2次方程式x2+2x-a+2=0 の判別式Dについ D0 すなわち 1²-1(-α+2)>0 て とき 必要条件。 1212, (57)=1+2¬a+2=0, (†§)=(1+2+a)²=0 (x) ata よって α=5 このとき f'(x)=-(x+3)(x-1) これを解いて a>1 このとき,f'(x) の分母について{(x+1)^+α-1}'≠0 であり,f'(x) の符号はx=cの前後で変わるから f(x) は極値をもつ。 したがって a>1 f'(x)\ (kは定数) について IT It. 7 k= (x+2x+5) 2 (5x)D ゆえに,f'(x) の符号はx=1の前後で正から負に変わ十分条件であることを示 a=5 り, f(x) は極大値 f (1) をとる。 したがって (2) f(x) が極値をもつとき, f'(x)=0となるxの値cが(この確認を忘れずに!) あり, x=cの前後でf'(x) の符号が変わる。 >0 1f(x) の(分母)≠0 (4) - u'v-uv 2² の値を求めよ。 167 Aa=5 lt の解｡ y=x2+2x-a+2 + V C1 C2 + 4章 4 x 2 関数の行 14 x=c(C1とC2の2つ)の前 後でf'(x) の符号が変わる [類 名城

赤線で囲ったところ 三角関数の+とか-てどうやって調べるんですか？ 単位円を書いて調べる感じですか？

[類 中部大] 62 基本事項 参照)。 確認。 * 0 する。 >0 10 解答 基本例 次の関数の極値を求めよ。 (1)y=(x-3)e-x (3) y=x√√√x+3 指針 例題 94 関数の極値(1)….. 基本 (1) y'=2xe^x+(x2-3)(-e-x)=-(x+1)(x-3)e-x y'=0 とすると x=-1,3 関数の極値を求めるには, 次の手順で 増減表をかいて判断する。 ① 定義域,微分可能性を確認する。 明らかな場合は省略してよい。 ② 導関数yを求め, 方程式y'=0 の実数解を求める。 y'=0となるxの値やy が存在しないxの値の前後でy'の符号の変化を調べ, 増減表を作り, 極値を求める。 CHART 関数の極値 増減表は右のようにな る。よって x=3で極大値 x=-1で極小値-2e y y' y sinx=0から =2sinx(2cosx-1) x 0 6 1 2cosx-1=0から x= π 5 3' 3 よって, 増減表は次のようになる。 + (2) y=2cosx-cos 2x (0≦x≦2π) (2)y=-2sinx+2sin2x=-2sinx +4sinxcosx © find ( CHỐ の範囲で解く x=0, π, 2π π 3 0 極大 3 ゆえに x = 12/22 23232 TC 5 9 3² 増減表の作成 の符号を調べる x : ゆえに, x>0 では常に y'>0 V² I ... π 極小 -3 : -1 0 + 極小 -2e π 5 3 + R > p.162, 163 基本事項 2 3 基本 93 0 極大 3 0 極大 6 3 > 2π 3 で極大値 ; x = で極小値-3 (3)定義域は3である。 x≧0のとき、y=x√x+3であるから,x>0 では 3(x+2) y=√x +3 + 2√x+3 2√x+3 00 -√3 |(1) 定義域は実数全体であ り定義域全体で微分可 能。 yA |0| 6 √√3 3 -3 -2e 2倍角の公式 sin2x=2sin xcosx x y'の符号の決め方につ いては, 次ページ検討 を参照。 f(x) f(0) 165 (3) f(x)=|x|√x+3 とす ると lim x→±0 x-0 =±√3 (複号同順) f(x)-f(-3) lim x-3+0 x-(-3) -=8 よって, f(x)はx=0, x=-3で微分可能でな いが, x=0では極小と する 4章 44 関数の値の変化、最大・最小

両方不定形を解消しているはずなのに 答えが違います なんでですか？

lím hyo √a²tah -a n √atan-a sss c hat h 両方不定形解消してるのに 答え遣う…なんで??? a (Vatah-a)(√artah+a) a²tah-a² h (va²tah+a) ha²tahta) h (√a²tah + a) a √a² + a }} ata ld 2

logとかの方程式容量で sin とかcos を外すことはできますか？

(3)の問題についてです。なぜ答えがそうなるのか理解できません。 m2乗-4m+24=0を解くと解なしになりますよね？💦

268 2 次不等式 x2+2x+m(m-4)≧0が次の範囲で常に成り立つような定数 mの値の範囲を求めよ。 (1) x ≦1 (2) 1≦x≦4 (3) 4≦x

赤線で囲った部分は要するに何を言ってるんですか？ それと、赤線で囲ったところの上の式変形、どういう思考回路で出てくるんですか？

た接線 基本 次の曲線上の点P, Q における接線の方程式をそれぞれ求めよ。 x2 田線の接線 q² + y² (②2) 曲線x=et, y=et のt=1に対応する点 Q ttel, a>0, b>0 基本 81 める。 7/2 20 ((1) 楕円 指針 「解答」 (1) 両辺をxで微分し,y'′ を求める。 -=1上の点P(x1, y1) 62 2²2 +22²2 62 接線の傾き=微分係数 まず, 接線の傾きを求める。 dy dt dy dx dx dt y-Vi=- よって =1の両辺をxについて微分すると 2x 2y ゆえに,y=0のときy= 62x a² 62 a'y よって,点Pにおける接線の方程式は,y≠0 のとき 62x1 a²y₁ 点Pは楕円上の点であるから (2) th + •y'=0 dy dx = (2) dy dt dx dt X1X (x-x1) すなわち 2 a² 62 a² 62 y=0のとき, 接線の方程式は y=0のとき, x1 = ±α であり, 接線の方程式は これは ① で x = ±α, y=0 とすると得られる。 したがって 求める接線の方程式は (2) dx = e², dy = =et, dy=e-t²(-2t)=-2te-t² dt dt -2te-t² et + = + X₁² y₁² 2 q² 62 2 yiy x₁² y₁² + =1 X1X Viy 2 62 + t=1のとき de, 1/2) = -2/2 Q(e, dy == dx e² したがって 求める接線の方程式は -=1 [(2) 類 東京理科大 ] /p.142 基本事項 2. 基本 81 x1x yiy a² =-2te-t²-t + =1 62 を利用。 1 x=±α 2 ext y-1---²/(x-e) tah5 y=- すなわち 3 陰関数の導関数につい ては, p.136 を参照。 ただし, a>0 5 両辺に12/12 を掛ける。 傾き b²x₁ a²y₁ -a x=-a yA 3e10 | 次の曲線上の点P, Q における接線の方程式をそれぞれ求めよ。 83 _ (1) 双曲線x2-y2 = d² 上の点P(x1, y1) 0 2 YA b p.137 参照。 2539 O -b P(x1,y1) a x=a -y=-2²/x+³ Q(t=1) 153 EY70 4章 2接線と法線

高校２年生文系選択の者です。自分は大学を 指定校推薦で受験しようと思っています。 生物が好きで本当は理系に進みたかったのですが 指定校推薦の面で考えると数Bは負担に なってしまうだろうと中学から通っている塾の先生から アドバイスを受け、文系を選びました。 文系でも行けるよう... Read More

ここの条件は問題中でどういう役割をしますか？

56 Ⅰ章 力と運動 発展例題 8 静止摩擦力 図のように,重さwの物体PとおもりQを軽い糸でつな に回転する滑車に糸をかける。 物体PとおもりQが静止す るためには,Qの重さはどのような範囲にあればよいか。 いで、水平とのなす角が0の斜面の上端にある, なめらか ただし,Pと斜面との間の静止摩擦係数をμ(μ <tane)と する。 指針 Qの重さが求める範囲の最大値 W1 のとき,Pはすべり上がる直前であり, 最小値 W2のとき,Pはすべりおりる直前である。 それぞれの状態において, Pは動こうとする向 きと逆向きに最大摩擦力を受けている。このこと に注意して,各状態の力のつりあいの式を立てる。 解説 Pがすべり上がる直前, すべりおり る直前のそれぞれにおいて, Qにはたらく力はつ りあっており,Pが糸から受ける張力はそれぞれ W1, W2 に等しい。 また, Pが受ける垂直抗力を N, 最大摩擦力を F とすると, Fo=μN=μwcoso 各状態でPが受ける力は図のようになる。 すべり 上がる直前の力のつりあいから, W1 = wsino+μwcosa=w(sino+μcose) NA wsine 指針 AとBの間では, 動摩擦力がはたら いている。Bが運動方向に受ける力は動摩擦力 μ'mg のみで、Bは右向きに加速しており, Aか ら右向きに動摩擦力を受けている。 Bが受ける動摩擦力の反作用として、Aは左向 きに動摩擦力μ'maを受け 発展例題 9 重ねた物体の運動 水平な床の上に,質量 2mの物体Aを置き, A の上に質量mの物体Bをのせる。 床とAとの間に 摩擦はなく, AとBとの間の動摩擦係数をμ'と する。 Aをあるカfで右向きに引くと, AとBと Fo so すべり上がる直前 A 解説 のように れぞれの wcose w A:2 f P B S wsine 発展問題 119 N. A w すべりおりる直前の力のつりあいから, μwcoso+W2=wsind W2=w(sine-μcose) M ここで, W2=wcose (tan0-μ) であり, 問題の条 件から, "<tan0 なので, W2 > 0 となり,題意を 満たしている。したがって, 重さWの範囲は, w (sino-μ cose)≦W≦w(sino+μcos0 ) W2 Fo wcos o So すべりおりる直前 の間ですべりが生じ, 別々に運動した。 重力加速度の大きさをgとして, AとBのそれ ぞれの床に対する加速度の大きさを求めよ。 Q 発展問題 125 の力は、