(4)の不定積分はxをsinθと置いて解くことはできるでしょうか🙏 お願いいたします🙇🏻‍♀️

(4) JC 1-x2 dx

赤線部のように変形できるのはなぜですか？🙏

262 第6章 応用問題 3 0以上の整数nについて, とする. L.-S'x*e*dx (1) Io, L を求めよ. (2) In+1 を In を用いて表せ. (3) I を求めよ. 精講 部分積分というのは,「ある積分をより単純な積分に帰着させる」 というテクニックです.これは,漸化式ととても相性がいいです。 解答 (1)_I。=f*e*dx=[e*]'=e−1 h=fredr = S¸²x (e³)'dx 部分積分を用いると I は I に帰着できる =[zeli-five"dr e-Sedr=e(e-1)=1 =e- I が出てくる n+1 (2) Int = formed = 0 n+1 -S'***e*)'dx 0 =[x"+¹e*]-[(n+1)x*e*dx =e-(n+1)xedx =e-(n+1)In In+1 が In に帰着できた

区分求積法について質問です。 証明と赤線部の公式のつながりが分からないので教えていただきたいです🙏

B 定積分と和の極限 関数 f(x) = x2 について, 曲線 y=f(x)とx軸および直線 x=1 で囲 まれた部分の面積Sを考えてみよう。 1 定積分を用いてSを求めると 5 s=fxdx=[1]=1/3 S= n 0 S y=2 Link イメージ tok 一方,図 [2] のように区間[01] をn等 [2]y y=x2 1 分してn個の長方形を作り,それらの面 積の和をSとする。 n→∞のとき,こ 10 の長方形の集まりは図 [1] の斜線で示した 図形に限りなく近づくから, Sn→Sと 予想される。 実際に計算してみよう。 = n 3 (カ)+(2)+(2)+(n)} 2 1 -Σk² = --- n nk=1 = n 1 01t n n(n+1)(2n+1) = lim 1/ (1+ 1 ) (2 + 1) = 1/ limSn=lim 5 であるから n→∞ n→∞ n == 3 Sn 1 n n-1 n 22 よって, limSn=Sが成り立つことが計算で確かめられた。 81U

なぜ面積をある範囲で積分すると体積が出せるのでしょうか🙏

Bx軸の周りの回転体の体積 a<b のとき, 曲線 y=f(x) とx軸および2直線 x = α, x= bで 囲まれた部分が, x軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを考 てみよう。 点(x,0) 通り, x軸に垂直な平面で この回転体を切ると, 断面は半径がf(x)| の円である。その断面積をS(x) とすると S(x)=xlf(x)=π{f(x)}2 であるから,次の公式が成り立つ。 y lf(x)/y=f(x) 0 a b x ' S(x) 軸の周りの回転体の体積 V = √(f(x))² dx = Sy² dx a ただし,a<b voflox

∫ ｜sinx｜dx の値は存在しますか？🙏

下の赤で囲んだ部分の計算は部分積分法で解いていますが、どこをf(x)、g’(x)と置いて解いていることになっていますか？🙏

264 第6章 積分法 応用問題 4 次の定積分の値を求めよ。 Se¯\sinx|dx p243 で練習した (指数関数)×(三角関数)の積分です。 p203で登 場した減衰する曲線とx軸とで囲まれた部分の面積が現れます。 解答 esinxの不定積分を求める. 1=fesin.xdx < I= 1=√(−e˜³)'sinxdx =-e *sinz-|(-e*)cosadr ecos.xdx =-esinx+fec 0 =-e *sinr+/(-e*)′cosidr =-e*sinz-e*cosx-|(-e)(-sinz)dr r-ſe¯sinxdx =-esinx-ecosx- =-e*(sinx+cosx)—I これを解いて I=-ge(sinx+cosx)+C 2 y=e² y=esinz 積分範囲を2つに分ける 0≤x≤ Ti sinx≥0 T≤x≤2 Tlt sinx≤0 5x=f„ª e¯¯|sinx\dr+S₂*esinx\dr =Sesinada+fe¯(− sinx)dx -he (sinx+cosa) -- đc (e+1)-(-e-e¯) -2 = ½-½ (e¯² + 2e¯¯+1) = ¹²±² (e¯¯+1)² 2 2 *(sinx+cosr) 12

下の問題について質問です。 解答の赤線部の時点で絶対値を外せるのはなぜですか？🙏

264 第6章 積分法 応用問題 4 次の定積分の値を求めよ. Se-sinx/dx p243 で練習した (指数関数)×(三角関数) の積分です。 p203 で登 場した減衰する曲線とx軸とで囲まれた部分の面積が現れます。 esinの不定積分を求める. I= 1=Se²²s sinrdr とおくと 解答 y+ -y=ex y=esinz 1=√(−e˜³)'sinxdx =-esinx- -(-e) cosxdx =-esinx+ +fe*coside =-e*sinx+(-e*)cosadr 0 =-e*sinz-e *cosx-|(-e)(-sinz)dr =-e¯sinx-e¯cosx-fe¯sinädä =-e(sinx+cosx)−I これを解いて 1 I=- e*(sinx+cosr)+C 2 積分範囲を2つに分ける 0≤x≤r T sinx≥0 л≤x≤2л Tlt sinx≤0 5x=("^e¯*\sinx\dx+(2ª e\sin\da 2 =Se¯sinxdx+fe¯*(− sinx) dx -ve-sinx +coso) -- (+1)-(-e-e) = (e + 2e¯ +1)=(e²+1)³ 2 e-(sinr+cosr) 12

(3)の定積分について質問です。 真ん中が解答で右が自分で解いたものなのですが、どこで間違えているのでしょうか？🙏

一練習問題 20 次の定積分の値を求めよ. (I) 11) S. 2 Sre xe d (2) π 2 ²x² sinxdx (3) S logx x² xp.

be faced with 「〜に直面している」 この熟語はなぜ受け身形になっているのですか？🙏

赤線部の意味がわからなかったので教えていただきたいです🙏

8 定積分と面積 定積分は,図形の面積と関係がある。 ここでは, 定積分を使っていろいろな 図形の面積を求めてみよう。 A 定積分の図形的な意味 5 関数 f(x) = 2x について考えよう。 Ly=2x 右の図において, 関数 y = 2x のグラ フとx軸,およびx軸に垂直な2直線で 囲まれた斜線部分の面積は 2x 2 (2+2x)(x-1)=x-1 0 x x 10であり,これはxの関数である。 ここで,この面積をS(x) とおくと S(x)=x2-1, S'(x)=2x f(x) = 2x であるから, S'(x)=f(x) が成り立つ。 すなわち, 面積 を表す関数 S(x) が関数f(x)の原始関数の1つになっている。 15 関数 y=2x のグラフと面積について調べたことを,一般の関数 y=f(x) について考えてみよう。 関数 f(x) は, 区間 a≦x≦bで f(x)≧0 であるとする。 y=f(x), 右の図において,y=f(x) のグラフ 20 とx軸の間の部分のうち, x 座標がα か らxまでの斜線部分の面積は,xの関数 である。この関数をS (x) とする。 S(x) Oa x b x