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グマ
るの小文字
7 正の整数nに対しnの正の約数すべての和をo(n)とおく、ただし、1とnもn
の約数とする。次の問いに答えよ。
(1) 素数』、正の整数aに対し,n=p° とおく、o(n) をかとaでまは
第1章 整数と論証
2) 相異なる素数p、Q. 正の整数 a, bに対し,n=p, m=q° とおく、このと
+が(1+a++ +
=(1+p+が+ +が)(1+q+q+……+q)
=a(が)a(q)
き、o(nm)=o(n)a(m) が成立することを証明せよ。
(3 正の整数aについて2"-1が素数とする。このとき, n=2°'(2"-1) とおくと、
=o(n)a(m) ロ
(お茶の水女子大)
(3) 2°-1(aは正の整数)が素数とすると、この数の正の約数は1.2"-1だけだから
a(n)=2n が成立することを証明せよ。
a(2"-1)=1+(2°-1)=2" ..D
このとき,n=2"-\(2°-1)とおくと, p=2, q=2"-1として(2)を用いて
(思考のひもとき)○
1. pが素数のとき, が(kは正の整数)の正の約数は
が(=1), p, が、 . p皿の友+1]個
2 2-3(=72) の正の約数は, 2*.3' (0SkS3, 0Si<2) の形で
20
a(n)=a(2°-1)a(2"-1) ②
30
(1)から,o(2°-)=1+2+2°+…. +2"-1=
2-1
2
3
=2"-1
であることを考えると,①, ②より
2
o(n)=(2"-1)2"=2·2°-\(2"-1)=2n □
3
解説
1° 素数かに対し, が(aは正の整数)の正の約数は,か(k=0. 1, 2,……, a) の
2
の(3|+1)×(2|+1)=12|(個)
解答
(1) 素数か, 正の整数aに対し, n=がの正の約数は
1, p. が、……, pのa+1個で,その総和は,等比数列の和の公式を用い
形をしている。たとえば,3(=81)の正の約数は, 3°(=1), 3', 3', 3". 3' の5個あ
サイ
る。
2° 完全数について
か+1-1 るケ
p-1
o(p)=1+か+が°+ +が=
6の正の約数は,1,2, 3, 6で,このうち自分自身を除くと,1, 2, 3で、その和
は1+2+3=6 となり,自分自身と一致する. このように,自分自身を除く正の約数
(2) nm=が°q° (, qは相異なる素数)の正の約数はがq' (0SkSa, 0い_いb)の形で
の和が、自分自身と一致する整数を完全数という、たとえば、6は完全数である。
かg. かq. かg, ……, か.
がg.がq. が
がd. がq. がず.
か
q°
2番目に小さい完全数は,28 である.ビタゴラス(B.C.580 頃~B.C.500 頃)の学派は、
……, かg.
6と 28 が完全数であることに注目していた. 3番目に小さい完全数は496 である。
…, がg
か
6=2-(2°-1), 28=2°- (2°-1), 496=2' (2°-1)の形を見ると
a+1
「2°-1が素数のとき,n=2"-\(2"-1)は完全数である」…(*)
が
|pen pa
aコ+1
g
と予想される。この問い掛けに答えたのが(3)であり, B.C.300 頃にユークリッドによ
り著された「原論」という本に証明ものっている。
が. がq. が, …. が·
go
a(n)で、nの正の約数の総和を表すのだから, nが完全数であるということは、
a(n)-n=n, つまり, o(n)=2nを満たすということである. したがって、 (3)は(*)
pe
1 00.gtまで 1+0コ
の(a+1)(b+1)個あり, その総和(nm)を求めると
の証明に他ならないのである。
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