244
161 対数 不等式の解法 (2)
基本例題
不等式 10g2x-610gx2≧1 を解け。
CHART SOLUTION
対数不等式
おき換え [logax=t] でtの不等式へ
真数の条件 底αと1の大小関係に注意
底を2にそろえると
log2x--
t
6
-≥1 - 底の変換公式
log₂x
6
t
log2x=t (tは任意の実数, ただし t≠0) とおくと, t - - ≧1 となり,両辺に
を掛けての2次不等式の問題に帰着できる。 ただし,tの符号によって不要
の向きが変わるので、t>0, t<0で場合分けをする要領で解く。・・･・・
解答
対数の真数, 底の条件から x>0 かつ x=1
1
また
10gx2=
10g2x
6
よって, 不等式は log₂x
≧1
log2x
[1] 10gx>0 すなわち x>1 のとき
① の両辺に10g2x を掛けて
よって
ゆえに
(log2x)2-10g2x-6≧0
(log2x)²-6≥log2 x
1
(log2x+2) (10g2x-3)≧0
log2x+2>0 であるから 10g2x-3≧0 すなわち 10g2x≧3
底2は1より大きいから x≧8
これは x>1 を満たす。
[2]log2x<0 すなわち0<x<1のとき
① の両辺に10g2x を掛けて (log2x-6≦log2x2
よって
(log2x)²-log2x-6≤0
(log2x+2)(10g2x-3)≦0
これは 0<x<1 を満たす。
1
[1], [2] から x1, 8≦x
ゆえに
log2x-3<0であるから 10g2x+2≧0 すなわち 10gx≧-2
よって
ー2≦log2x<0
底2は1より大きいから 1 x<1
底を2にそろえる。
x=1 から 10gx
基
■α>1 のとき､x^
loga x>0
t²-t-6
=(t+2)(t-3)
10g2x>0から。
log2xlog28
◆α>1 のとき,
0<x<1では10g
10gx < 0 から。
log2
≦log2x
