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うちで,点(e, 2) を通るものを求めよ。
基本 例題 119 導関数から関数の決定
(1) f'(x)=xe*, f(1) = 2 を満たす関数f(x) を求めよ。
(2) f(x)はx>0 で定義された微分可能な関数とする。
曲線 y=f(x) 上の点(x, y) における接線の傾きがで表される曲線の
DOOOO
1
x
p.180 基本事項 1
CHART & SOLUTION
導関数から関数の決定
積分は微分の逆演算
積分
F'(x)=f(x)
微分
(1) f(x)=√xe* dx
Sf(x)dx=F(x)+C
なお,右辺の積分定数Cは,f(1)=2 (これを初期条件という) で決まる。
(2)(接線の傾き)=(微分係数)
よって
点(e, 2)を通るf(e) =2 (初期条件)
f(x)=1/2
->
積分定数Cが決まる。
解答
(1)_f(x)=√xe*dx={x(e*)'dx=xe*(x)'e*dx
=xex-fe*dx=(x-1)e*+C (Cは積分定数)
f(1) 2 であるから
C=2
ゆえに
f(x)=(x-1)ex+2
(2) 曲線 y=f(x)上の点(x, y) における接線の傾きは
f(x)であるから f(x)=1/2(x>0)
よって
f(x)=2x=logx+C(Cは積分定数)
x
f(x)==
この曲線が点 (e, 2)を通るから
2=loge+C
ゆえに
C=1
したがって, 求める曲線の方程式は
y=logx+1
部分積分法
Se⭑dx=e'+C
x>0 であるから
|x|=x
f(e)=2, loge=1
PRACTICE 119
(1)x>0 で定義された関数 f(x) はf'(x)=ax-
(αは定数),f(1)=a, f(e
x
を満たすとする。 f(x) を求めよ。
〔名
(2) 曲線 y=f(x)上の点(x, y) における接線の傾きが2であり,かつ,この
が原点を通るとき,f(x) を求めよ。 ただし, f (x)は微分可能とする。
