例題 121 直線上の点の運動
数直線上を運動する点Pの時刻t (t≧0)における座標xが
思考のプロセス
x
= sint+√3 cost で表されるとき,次のものを求めよ。
T
(1) 時刻 t = 2
における点Pの速度, 速さ, 加速度
(2)速度の最大値およびそのときの時刻も
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数直線上を動く点Pについて
時刻 t における位置を x, 速度をv, 加速度をαとする。
tで微分
速度
tで微分
加速度
位置
dx
dv
x=f(t)
v =
=f'(t)
a =
dt
dt
=f" (t)
★☆☆☆
x=f(t)
P
速さ || 速度”と速さ |v|を混同しないように注意する。
「速度… 向きがあり,負の値もとる。
ってのは
速さ・・・大きさであり
Action> 直線上を移動する点の速度は,位置を時刻 t で微分せよ
50以上であるD
以上の値である。
dt
=cost-√3 sint, a =
解 (1) 時刻における点Pの速度を v, 加速度をα とおくと
38dx5540x
=-sint-√3 cost
dv
d²x
a=
dt
dt
dt²
として、
π
よって,t=1のとき
2
速度は
π
π
速度v=COS
-√3 sin
sin
--
-√√3, 速さ|v|=√3,
2
2
速度の向きは、
πT
π
加速度α=sinz-√3 cos
=-
2
(2)=√3sint+cost = 2sint+
= 2sin(t + $5 -π)
6
t≧0 であるから,の最大値は2であり,そのとき
5
t+
π
1+1/x=1/2+2m(nは自然数)
6
よってt=
==
Ania
πC
3
+2n(nは自然数) のとき 最大値 2
三角関数の合成
asin+bcost
= a + b sin(+α)
5
- 1 ≤ sin (t+ 3 + x)≤1
t≧0であるから
n≧1
