青い下線部の方程式にもっていく過程が分かりません。 どうして①、②から方程式にするのでしょうか？？ また、青丸の部分がどうしてマイナスになるのですか？

本 例題 10 寺数 をなす3数 (等比中項) 数列 a, b, c が等比数列であるとき, a, b c の値を求めよ。 3つの実数a, b, c に対して,a+b+c=39,abc=1000 とする。 CHART & SOLUTION 等比数列 a, b,cの扱い (a, b, cは0ではない 1 公比をrとして 2 b=ac を利用 a,b=ar,c=ar2 00000 p.365 基本事項 2 この例題では②の方針 (等比中項の性質の利用) の方がスムーズ。 1の方針の解答は を参照。 3 a+b+c=39 ①, abc=1000 数列 a, b, c が等比数列であるから ② ③から6=1000 は実数であるから6=10 このとき,①から a+c=29 また,②から ac=100 ②とする。 ②の方針 bac ③ ③は等比中項の性質。 を利用。 よって,a,cは方程式 x29x+100=0の2つの解である。 -29x+100=0 を解いて x=4,25 ゆえに(a,c)=(4, 25), (254) よって≠n (a, b, c) = (4,10, 25), (25,104) 別解 abc0 から公比r=0であり,b=ar,c=ar2 とする と 前ページの 63-103=0 から (6-10)(62+106+100 ) =0 としてもよい。 (x-4)(x-25)=0 ①の方針 a+ar+ar2=39 ④ aar ・ar2=1000 ⑤ ④から a(1+r+r2)=39 ⑥ ⑤から ar3=1000 ar (=b) は実数であるから ar=10 ⑦ (ar) -10°=0 から ⑥の両辺にを掛けると ar(1+r+r2)=39r 10r2-29r+10=0 ⑦を代入して整理すると (2r-5)(5r-2)=0 ISI SAS 2 って 12のときa=4 r= 5 52 25 ゆえに r= 2'5 a=25 (a, b, c)=(4, 10, 25), (25, 10, 4) (ar-10)(a^2+10ar+10 =0 よって ar=10, ar2+10ar+100=0 ここでAを満たす実 ar は存在しない。

青い所の移り変わりがよく分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

f(x)=x^-x+px-gx +4 がx-1, x-2でわりきれるとき, 次の問いに答えよ. (1) p, g の値を求めよ. (2) f(x)=0 の1,2以外の残りの解を求めよ. 青講 「x-1でわりきれる」 とは 「x-1でわった余りが0」 と考えられ るので,剰余の定理で余りを0とおいて得られる定理, 「因数定理」 が使えます. 解答 (1) f(x)=x^-x3+px²-gx +4 は, x-1, x-2でわりきれるので,f(1)=f(2)=0 因数定理 .. p-g+4=0 12p-g+6=0 p= -2 よって, Aq=2 (2) (1)より,f(x)=x-x-2.x²-2x+4 G=(x²-3x+2)(x²+2x+2) =(x-1)(x-2)(x2+2x+2) (x-1)(x-2), すな わちx2-3x+2 で よって、残りの解はx'+2x+2=0 の解. わりきれる ∴x=-1±i

マーカーの部分で、なぜaが±2のときと±2ではないときで場合分けをしてるんですか？ 解説をお願いします🙇‍♀️ a=±2のとき、接線がx=±2とy=±1とわかるのはなぜですか？

117 重要 例題 66 直交する2接線の交点の軌跡 重要例題 00000 楕円x2+4y=4について、 楕円の外部の点P(a, b)から、この楕円に引いた2 本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ。 [類 お茶の水大] 基本63 指針 胴 点Pを通る直線y=m(x-a)+6が、楕円x2+4y=4に接するための条件は、 D=0 が成り立つことである。 x2+4{m(x-a)+b}2=4の判別式Dについて, また,D=0の解が接線の傾きを与えるから, 直交⇔傾きの1 と 解と係数の関 係を利用する。 なお、接線がx軸に垂直な場合は別に調べる。 [参考] 次ページでは、楕円の補助円を利用する解法も紹介している。 円 CHART 直交する接線 D=0, (傾きの積)=-1の活用 解答 [1] αキ±2 のとき, 点Pを通る接線の方程式は y=m(x-a)+6 とおける。 これを楕円の方程式に代入して整理すると 本 YA 5 P(a, b) 10 1 √√5 2 x (4m²+1)x2+8m(b-ma)x+4(b-ma)2-4=0 このxの2次方程式の判別式をDとすると D=0 D 20 √5 ここで =16m² (b-ma)-(4m²+1){4(b-ma)2-4} 4 V5 x2+4y2=4 とすると =-4(b-ma)2+4(4m²+1) 1 =4{(4-a2)m²+2abm-b2+1} ゆえに (4-α²)m²+2abm-62+1=0 ① (*) (6-ma) のまま扱うと, 計算がしやすい。 mの2次方程式 ①の2つの解を α β とすると αβ=-1 直交⇔傾きの積が1 ! -62+1 すなわち =-1 4-a² 0=1+ よって a2+b2=5, a≠±2 [2] α=±2のとき, 直交する2本の接線はx=±2,y=±1 (複号任意) の組で, その交点の座標は (2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, −1) これらの点は円x2+y2=5上にある。 [1], [2] から, 求める軌跡は 円x2+y2=5 ( 解と係数の関係 ■2次方程式 px2+qx+r=0 について, r - - 1 が成り立つとき, 判別式 |大92-4pr=q'+4p>0 となり、異なる2つの実数 解をもつ。

(3)の所でyが0になるのはわかるのですが何故青線の所が無くなっているのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

89 共通接線 2つの曲線 C: y=x', D:y=x2 + px+g がある. (1) C上の点P (a, α) における接線を求めよ. (2) 曲線DはPを通り, DのPにおける接線はと一致する. こ のとき,pg をαで表せ. (3) (2) のとき,Dがx軸に接するようなαの値を求めよ. 精講 (2) 2つの曲線 C, Dが共通の接線をもっているということです が,共通接線には次の2つの形があります. (I型) (Ⅱ型) y=f(x) y=g(x) y=f(x) y=g(x) アイは一致するので, 3a²=2a+p, -2a=q-a よって, p=3x²-2α,g=-2a3+α² (3) Dy=x+ +2 +q-2 だから, 曲線 Dがx軸に接するとき, 頂点の座標は 0 ∴. 4g-p=0 <x²+px+g=0 の 9-2²=0 4 よって, 4(-2α²+α²) (3a²-2α)²=0 4a(−2a+1)-α(3a-2)²=0 a^{-8a+4-(9α²-12a+4)}=0 a³(9a-4)=0 判別式=0 でもよい 展開しないで共通因 数でくくる 4 .. a=0, 注 α=0 が答の1つになること は,図をかけばx軸が共通接線 であることから予想がつきます. D (二次関数)がx軸に接するというのは 頂点のy座標が0になる or Dの判別式が0となる。 0 x (2)はポイントを使うと次のようになります. 違いは, 接点が一致しているか, 一致していないかで,この問題は接点がP で一致しているので(I型) になります. どちらの型も、接線をそれぞれ求めて傾きとy切片がともに一致すると考え れば答をだせますが, (I型) についてはポイントの公式を覚えておいた方が よいでしょう. 解答は,この公式を知らないという前提で作ってあります. 解答 (1) y=xより, y'=3x2 だから, P(α, α3) における接線は, y-a=3a(x-α) :.l:y=3ax-2a ...... ア (2)PはD上にあるので, a'+pa+q=a° ...... ① また,y=x'+px+g より y'=2x+p だから, Pにおける接線は, y-a= (2a+p)(x-a) :.l:y=(2a+p)x+a-2a-pa 85 f(x)=x, g(x)=x2+px+q とおくと f'(x)=3x', g'(x)=2x+p [a=a+pa+g . 3a²=2a+p [p=3a2-2a よって, g= -2a3+α² ポイント 2つの曲線 y=f(x) と y=g(x) 共有し, その点における接線が一致する -f(t)=g(t) かつ f'(t)=g'(t) 点 (t, f(t)) を y=(2a+p)x+q-a° ...... ① (∵: ①より) 演習問題 89 関数f(x)=x2+2 と g(x)=-x+ar のグラフが点Pを共有 し, 点Pにおける接線が一致する. このとき,αの値とPの座標を 求め上

図形と方程式の問題です。どのような場合の時に最後の逆の確認を行えば良いのかわからないです。教えて頂きたいです。

重要 150 114 接線に関する軌跡 lとし,その交点をRとする。 l と l2 が直交するように2点P,Qが動くとき, 放物線y=x2上の異なる2点P (p, 2), Q(g, q2) における接線をそれぞれ l, 点Rの軌跡を求めよ。 基本 110 2点P,Qにおける接線の方程式をそれぞれ求め,それらを連立方程式として解くと, 交点R の座標 (x,y) が求められる。 x, yはつなぎの文字 gの式で表されるから、 pg を消去する方針で進める。 181 その際,2直線が垂直 解答 接線の傾きをm とすると,その方程式は y=(x-p) すなわち y=m(x-p)+p2 これとy=x を連立して x=(x-p)+p2 整理すると x2-mx+mp-p=0 この2次方程式の判別式をDとすると D=(-m)-4(mp¯p²)=(m−2p)² 接するとき, D=0であるから (m-2p)=0 よって 点Pにおける接線でx軸に垂直なものはないから, (傾きの積)=-1 を利用する。 P(カッカ) Q(g,g2) 3 10 l2 ふつうに R (x.) x 章 18 微分 m=2p したがって, l の方程式は すなわち y=2px-p2 y=2p(x−p)+p² ① 同様にして, l2 の方程式は =2gx-q2 交点R の座標 (x, y) は, 連立方程式 ①,②の解である。 を消去して整理すると 2(p_q)x=(p+g) (b-g) p+g pgであるから &c= 2 販 0=S- これを① に代入して y=2p ptg-p=pa 20-1 ここで, l⊥l2 から 2p･2q=-1 よって, pq= から y=- ③ 4 4 逆に, (*) * ③ が成り立つとき,pg を2解とする 2次方程 式2-2xt- =0 の判別式をDとすると 1 D' よって D'0 4 ①でをgにおき換え る。 参考 後で学習する微分法 (第6章) を用いると, 接線 の方程式をより簡単に求め ることができる ( 解答編 97 の 参考 を参照)。 (*) 逆の確認。 直線 y=-21 上の任意 の点から、必ず接線が2 本引けることを確認して いる。ここで, pg を2 解とする2次方程式の1 p+g=2x, ゆえに、任意のxに対して実数pg (p)が存在する。 b=-1/2 から 4 したがって求める軌跡は 直線y= == 21 (0 12-2xt- =0 大事

答えがa＝3,b＝-9になりましたが合っていますでしょうか？

6.2次方程式 ax2+bx+120の解が4<<1であるとき、定数a,bの値を求 めよ. (x+4)(x-1)<O (-4.0)(1.0) x+3x-40 Jax²+bx+1270 LPx2-3x+470 a=-3.6=-9

解と係数の関係についての問題です。 (2)で、下線のように1つ目の式の実数解の条件を使っていますが、2つ目の式については調べなくても良いのですか？

練習 2 50 基本 例题 (1) 2次方程式 x²-2x+3=0の2つの解をα,βとするとき α+1 解とする2次方程式を1つ作れ。 BB 基本事 1 X (2) 2次方程式x2+px+g=0 の2つの異なる実数解をα, βとするとき α+1, β+1が2次方程式 x2-3px 2pg=0の解になっているという とき,実数の定数p, g の値を求めよ。 「指針| 2 2 ① 2 解と係数の問題 解と係数の関係を書き出す に従って考える2 2 (1) まず, 2次方程式x2-2x+3=0 について,解と係数の関係を書き出す。2 (2)2つの2次方程式の解と係数の関係を書き出し, α, B, p, q についての 2つの解の和と積を求め,x-(和)x+(積)=0とする。 式を解く。 3 (1) 解と係数の関係から α+β=2, αβ=3 よって 解答 (a+1)+(8+1)=a+B+a+B = 2+2 = 3 1 ◄at. αβ 8+1 +1/3+2 16 は、α,βの対 よって、 基本 a+ +1/2)(B+1/2)=aB+c+2=3+/3 したがって, 求める2次方程式の1つは 83 63 BB+1 解 3 2 G ( 27 [ 8 16 x²- -x+ = 0 すなわち 3x-8x+16=0 3 (2) 実数解に関する条件から 2-49>0 ① 2つの2次方程式において, 解と係数の関係から a+b=-p ② aβ=g (a+1)+(β+1)=32 (a+1)(β+1)=-2pg ②④に代入して -p+2=3p2 3, よって (p+1)(3-2)=0 ゆえにp=-1, 23 ⑤ から aβ+(a+β)+1=-2pg ②③ を代入して g-p+1=-2pg (*) 1 これから=-1のときq=2,p=1/23のときg= == 7 ① を満たすものを求めて = 7 a+β, aB (和)(税込) [ 1つ目の方 [ Dについて それぞれの方 係数の き出す。 43p²+p-2=0 1-=421 (*) ► 順に代入して解 1 (1)2次方程式 2x2-4x+1=0の2つの解をα β とするとき、α--,β- とする2次方程式を1つ作れ。 α [類】 (2)2次方程式 x+px+g=0 は,異なる2つの解α β をもつとする。 2 x2+gx+p=0が2つの解α ( β-2), B(α-2) をもつとき,実数の定数

一次関数です。 教えてください！ 早めににお願いしたいです！

7 右図のように, 5点0(0,0), A (8,0), B(7, 3), C(3,5), D(0, 3) を頂点とする五角形 OABCD がある。 (1)x軸上に点Pをとり, 五角形 OABCD と四角形 OPCD C の面積を等しくするとき,点Pの座標を求めなさい。 D B (2)点Cを通り五角形 OABCD の面積を2等分する直線と 軸との交点の座標を求めなさい。 7A 8 Px

(2)の四角の赤のところですが、なぜ青線全てを使わないのでしょうか？

次の式の展開式における、[ ]内に指定されたものを求めよ。 (1)(2x3x) [x® の項の係数] (2) (2x³-3x²) 1 [定数項] (1) (2x3x) の展開式の一般項は 5Cr (2x3)-(-3x)" 5Cr 25-(-3)". (x3)5-.x" 5C, 25-(-3)". x 15-3r+r =sCr. 25-(-3)" x 15-2(2) xの項はr=3のときであるから,その係数は 炒 (a+ 般項は ⇐x 3(5 +px 15- 5C3 22(-3)3-10x4x(-27)=-1080 art 5 (2)(2x-3)の展開式の一般項は +(a 般項 5C, (2x³)-(-3)=sCr+ 25-15-3(-)()( =sCr+25-(-1)x 15-3. 2r 15-3r x 2r =1 から X x 15-3x²r ゆえに 15-3r=2r よってr=3 3 したがって, 定数項は ゆえに +46C3.2²(-1) 2r p20 020, 720, p+r(ver なわち=3p+g-lのときで 40 5C3.2² (-1)=-10×4 × (-27)--2-(-) 5-2029 ⇐定 inf. 15- とし HONO 15 と

この4の問題ってぼくの答えではどうしていけないのですか？教えてください！

基本例题 22 組合せの基本 男子3人, 女子4人から3人を選ぶとき,次の場合の数を求めよ。 (1)7人から3人を選ぶ選び方 (2)3人のうち女子が1人だけ入っている選び方 (3)3人のうち女子が少なくとも1人入っている選び方 4 女子2人、男子1人を選んで1列に並べる方法 00000 P.367 基本事項