この問題の解説右の、補足説明みたいなところ にある、 11 - Y は2の倍数であるから Y は奇数。 と書いてあると思うのですが、 Y が 奇数になる理由がよく分かりません。教えていただきたいです。

基本 例題 129 1次不定方程式の自然数解 00000 等式 2x+3y=33 を満たす自然数x、yの組は ある それらのうち が2桁で最小である組は (x,y)=()である。 [福岡工大) 基本127 重要 130 CHART & SOLUTION 方程式の自然数解 不等式で範囲を絞り込む 「xyが自然数」すなわちx1,y21(あるいはx>0,y>0)という条件を利用して、最 初からxの値の範囲を絞り込むとよい。 基本例題 127 と同様にして方程式 2x+3y=33 の整数解を求めた後で,x,yが自然 数になるように絞り込んでもよい。 解答 このことわり 4章 2x+3y=33 から 2x=33-3y すなわち x=3(11-y) ① 忘れない 15 2と3は互いに素であるから,xは3の倍数である。 ① において, y≧1 であるから ② 11-y≤10 よって 2x ≤3-10-30 更に, x≧1 であるから 11-vは2の倍数である から、又は奇数この条 件から絞り込んでもよ い。 1≦x 15 ③ ② ③から x=3,6,9,12,15 それぞれのxに対して, ゆえに、等式を満たす自然数x, yの組は 75組 yは自然数になる。 それらのうちxが2桁で最小である組は (x,y)=(123) ユークリッドの互除法と1

マーカーのところはなんでこれを言うんですか？[1]がk=2で終わりはどうしてダメなんですか？存在したらなんなんですか？(;;) 教えてください🙇🏻‍♀️

本例題 26 比例式の値 00000 y+z z+x x+y = のとき、この式の値を求めよ。 XC 2 基本 25 CHART & SOLUTION 比例式はんとおく 等式の証明ではなく, ここでは比例式そのものの値を求める。 y+z_z+x_x+y=kとおくと x y 2 y+z=xk, z+x=yk, x+y=zk この3つの式からんの値を求める。 辺々を加えると, 共通因数 x+y+z が両辺にできる。 これを手がかりとして, x+y+2またはkの値が求められる。 求めたんの値に対しては, (分母)0 (x0,y=0, z≠0) を忘れずに確認する。 解答 分母は0でないから xyz≠0 y+z_z+x_x+y=kとおくと x 2 y+z=xk... ①, z+x=yk・・・②, x+y=zh... ③ ①+②+③ から 2(x+y+z)=(x+y+z)k よって (-2) (x+y+z)=0 ゆえに k=2 または x+y+z=0 [1] k=2 のとき ① ② ③ から y+z=2x ④,z+x=2y... ⑤, x+y=2z ... ⑥ ... ④ ⑤ から y-x=2x-2y よって x=y x+x=2z よってx=z xyz=0x≠0 かつ y=0 かつキ0 x+y+zが0になる可 能性もあるから、両辺を これで割ってはいけ い。 x=y=z かつ xyz≠0 を満たす実数x, y, z の組は存在する。例えばx=y=z=1 これを⑥に代入すると したがって x=y=z [2] x+y+z=0 のとき y+z=-x よって k=y+z=-x=-1 x x [1], [2] から, 求める式の値は 2, -1 例えば, x3,y=- z=-2 など, xyz≠ かつ x+y+z=0 を たす実数x,y,zの 存在する。

高校生数学、分数数列の和です。 下の問題がわかりません、、。どうしてこの分数の、第k項の分母が(3k-1)(3k+2)になるか、も含めて解説してほしいです🙇‍♀️

382 基本 例題 21 分数の数列の和 00000 数列 1 1 1 2･5'58' 8・11' …の初項から第n項までの和を求めよ。 重要28 CHART & SOLUTION 分数の数列の和部分分数に分けて途中を消す 分母に着目すると,第に頃の分母は (3k-1)(3k+2) このような形の分数は 部分分数に分けて差の形にすることができる。 1 を計算すると 3k-1 3k+2 よって 3 (3k-1)(3k+2) *7 (3-1) (3k+2)=3(3k²-1-3k²+2) この式に k=1,2,…, n を代入して辺々を加えると,隣り合う項が消える。 解答 この数列の第ん項は 1 (3k-1)(3k+2) 1 k-1) 1 (3k+2)-(3k-1) = (3k-1)(3k+2) 3 (3k-1)(3k+2) (34-1-3k+2) inf. 次の式の変形はよく 利用される。 a≠b のとき 1 (k+a)(k+b) 1 (k+b)-(k+a) b-a (k+a)(k+b) 1 1 b-ak+a k+b 部分分数に分ける。 この式に k=1, 2, n を代入して,辺々を加えると 1 =- 1 1 1 1 + + + 2.5 5.8 8・11 (3n-1)(3n+2) 1/1 1 1 1 1 1 1+ + 32 5 35 8 38 11 1/1 ……+ ●=1/11/21)+(1/1)+(1/11) = 13n+2-2 - 13 (½-3n+2) = 3 2 (3n+2) n 3 3n-1 3n+2, 3n+2)} 3n-1 3n+2, 途中の 1 1 5'8'11' 3n-1 ....... - が消える。 2(3n+2) 1,2を代入して検算 しておくとよい。 基 C

数2の質問です！ 6分の11πではなく-6分の1 となる考え方を 分かりやすく教えてほしいです！！ よろしくおねがいします🙇🏻‍♀️՞

21 基本 の解法(角のおき換え)の①①① 002 のとき, 次の方程式・不等式を解けの方 π cos(0-1)=√3 (1) cos 0- 4 2 CHART & SOLUTION (2) sin20> 0116-0003 2 基本 121,122 角(変数)のおき換え 変域が変わることに注意 (1) 0-4 =t (2) 20=t とおき換えをして、に関する方程式・不等式を解く。その際, tの変域に注意する。 解答 = = f (1)04 とおくと - 0≦0 <2π であるから ① cost=1 ......nies π DS √3 20nies) (1+0nte) π π -≤0-<2-4 nie T すなわち 7 t< 4 この範囲で, ① を満たす tの値は t == π よって 0- π 4 π π 6' 6 ゆえに 0匹 5 同じこ 12' 12 (1) √3 2 -1 0 1x S 2次不 π π 6'6 その他の曲に注意 1-8 74 まる sin COS sincos 04 の範囲に注意 文字のとりうるの注意することと

解答の95＋12x>100+12(20-x) になるのがわかりません。95と100は重さで12xと12(20-x)は、球の数のはずなのに足すのはなぜですか？

59 1 ◎基本2 なるだろうか? (2) も同様。 AxB の形に A>0, A=0, で場合分け。 基本 例題 32 1次不等式と文章題 下 Aの箱の重さは95g,Bの箱の重さは100gである。 1個12gの球が20個あ り,これらをAとBに分けて入れたところ,Aの箱の方が重かった。そこで 基本30 Aの箱からBの箱に球を1個移したところ、今度はBの箱の方が重くなった。 最初,Aの箱には何個の球を入れたか。 CHART & SOLUTION 文章題の解法 ① 変数を適当に定め、関係式を作って解く ②解が問題の条件に適するかどうかを吟味 最初,Aの箱の球をx個としたときのAとBの重さを比較した関係式を作る。 次に,Aの箱の球を1個減らし、Bの箱の球を1個増やしたときの重さを比較した関係式を 作る。こうしてできる2つの不等式を連立させて解けばよい。 なお, xは自然数であることに注意する。 解答 となるためには,最大 とき 0 を代入して すべての実数x の範囲を定 Bは (20-x) 個 最初,Aの箱にx個の球を入れたとすると して0.x=0である A,Bの重さを比較して 95+12x > 100+12(20-x ) 05Aの方が重い。 245 整理して 24x>245 よって x> 24 正の数なので、 の向きはそのまま Aの箱から1個減らし, Bの箱に1個増やしたとき A,Bの重さを比較して 95+12(x-1) <100+12(21-x) ← Aは (x-1) 個, Bは(20-x+1) 個 ←Bの方が重い。 1章 1次不等式 整理して 24x<269 よって は負の数なので、 x<- 24② である 269 の向きは逆にな 245 ①と②の共通範囲を求めて 269 ·<x<· 24 24 245 24 ≒10.2, 269 24 ≒11.2 xは自然数であるから x=11 ◆解の吟味。 したがって,最初Aの箱に入れた球は11個である。 2 Ic

（2）の問題で①、②で出てきた-a、bをx=-a、bとして二次方程式x2乗+bx+aに代入すると、a=-2分の1、b=2分の1という新しい答えが出てきました。何が間違っているのか教えてください🙇‍♀️

80 基本 例題 47 2次方程式の作成 & 00000 (1) 2次方程式 x2+3x+4=0 の2つの解をα, β とするとき, α', ' を解 とする2次方程式を1つ作れ。 (5) (2) a<b とする。 2次方程式 x2+ax+b=0 の2つの解の和と積が、2次 方程式 x2+bx+α=0 の2つの解である。 このとき, 定数a, bの値を求 めよ。 MC p.75 基本事項 3 基本44 基 CHART & SOLUTION 2次方程式の2つの解の関係 解と係数の関係を書き出す (1) 2数α2β2 を解とする 2次方程式の1つは x2-(α2+β2)x+α2B2=0 | 積 (2)2つの2次方程式の解と係数の関係を書き出し, a, b の関係式を導く。 解答 (1) 解と係数の関係により a+β=-3, aβ=4 =1 よって2+2=(a+β)2-2aß=(-3)2-2・4 EL (8) 12 α, β は2次方程式 x2+3x+4=0 の2つの解 a², B². 21 21 α2β2=(aβ)2=42=16 ← 2数 2, B2 の積。 ゆえに, 求める2次方程式の1つは x2-x+16=0 (2) 2次方程式 x2+ax+b=0 の解をα, β とすると,解と 係数の関係により α+β=-a... ①, aβ=6... ② 2次方程式 x2+bx+α=0 の解がα+ β, aβ であるから, 解と係数の関係により (a+β)+αβ=-6, (a+β)aβ=a ① ② を代入して -a+b=-b... ③, -ab=a ・・・ ④ すなわち a(1+b)=0 ④から a+ab=0 2つの解の和と積。 上の4つの式 (赤字) か らα, β を消去。 よって α = 0 または b=-1 [1] α = 0 のとき ③ から 6=0 これは α <b を満たさない。 ← ③ から a=2b [2] b=-1 のとき 条件を確認する。 ③ から a=-2 これは a<bを満たす。 [1], [2] から a=-2,b=-1 PRACTICE 47 (1) 2次方程式 x²-2x+3=0 の2つの解をα, β とするとき,次の2数を解とする 2次方程式を1つ作れ。 (ア) α+1,β+1 (イ) 1 1 a' B (ウ) 3,3 (2)pg を 0でない実数の定数とし 2次方程式 2x'+x+2g=0の解をα,βとす る。2次方程式 x2+qx+p=0 の2つの解がα+β と αであるとき,pg の値を 求めよ。

この基本例題27の（2）が解説を読んでもよくわからず、もう少し詳しく教えて欲しいです。お願いします。

300 基本 例題 27 同じものを含む順列 00000 J,A,P,A,N, E, S, E の8個の文字全部を使ってできる順列について、 次のような並べ方は何通りあるか。 (1) 異なる並べ方 (2)JはPより左側にあり,かつPはNより左側にあるような並べ方 CHART & SOLUTION p.293 293 基本事項 2 同じものを含む順列 |1 そのまま組合せの考え方で n! ②公式 p!g!r!...... (p+gtr+=n)を利用 0 ここでは,上の②の方針で解く。 (2) まず, J, P, N を同じ文字Xとみなして並べる。 並べられた順列において、3つのX を左から順にJ,P,Nにおき換えれば条件を満たす順列となる。 例:XAXAXESE と並べ, JAPANESE とおき換える。 解答 (1)8個の文字のうち, A, Eがそれぞれ2個ずつあるから 8! 2!2!1!1!1!1! 8.7.6.5.4.3 2.1 -=10080 (通り) ←1!は省略してもよい。 別解 8個の場所から2個のAの位置の決め方は 残り6個の場所から2個のEの位置の決め方は 残り4文字の位置の決め方は 4! 通り C2通り ①の方針。 C2通り よって 8C2×62×4!= 8.7 6.5 -X -×4・3・2・1 2.1 2.1 ←積の法則。 =10080 (通り) (2) 求める順列の総数は, J, P, Nが同じ文字, 例えばX, X, X であると考えて, 3つのX, 2つのA, 2つのE, 1つのSを1列に並べる方法の総数と同じである。 8! 8.7.6.5.4 よって -1680 (通り) 3!2!2!1! 2.1×2.1 別解 1 の方針で解くと 8C3 X5C2 ×3C2×1 8-7.6 5.4 -x3x1 3・2・12・1 =1680 (通り) POINT 並べるものの位置関係が決められた順列 位置関係が決められたものを すべて同じものとみなす PRACTICE 27Ⓡ internet のすべての文字を使ってできる順列は通りあり、そのうちどのも どのeより左側にあるものは 通りである。 [ 法政大 ]

この問題で、2倍角や半角の公式を使うのは分かるんですけど、チャートに書いてある半角の公式が授業でやったものと違うから困惑してます😭 ノートの方の式を両辺2倍しても、チャートのような式にはならなくないですか？分母の2が消されるのかと思うんですけど…😭 教えて下さい🥹お願い... Read More

基本 例題 137 2次同次式の最大・最小を公の色 f(0)=sin'0+sincos0+2cos2 SE CHART & SOLUTION 00 (0sec)の最大値と最小値を求めよ。 sincos の2次式角を20に直して合成 基本135 sin'01-cos20 半角の公式 sin20 sinocoso= L2倍角の公式 cos'=1+cos20 半角の公式 2 これらの公式を用いると, sind, coseの2次の同次式 (どの項も次数が同じである式) は 20 の三角関数で表される。 2 更に、三角関数の合成を使って, y=psin(20+α)+αの形に変形し, sin (20+α) のとり うる値の範囲を求める。 sinaの一般解は Snia 200+0S2000 iz= 4章 0 2000 nia0 200+ (Waia Irie- 17 解答 1)ontes+ nies-Orie= f(0)=sin20+sin Acos0+2cos2日 = 2 + 2n+2 +2・・ 2 すなわち 0=2月 は 3 2 181-083√2 as-081-05-28 onia (= (sin20+cos20)+ =(sin 0022 = sin(20+)+1/ == であるから Sale=e Onie $220066te nie +2 sin30=sin1-cos 20 sin 20 1+cos 20ial-nie & 80lme="asin20, cos 20 で表す。 sin 20 と cos 20 の和 Snie nisine cose の2次の同 次式。 加法定理 y m (1,1) 1 √2 4 0 1 なお、sin30 と π π 5 π 点が6個あるとが よって sin 30 √2 sin (20+)≤1 54 -1 47 π 4 10 1 x 各辺に √√2 を掛けて 2 3+√2 18001 √2 ゆえに 1≤ f(0)≤ 1/2=7sin(20+4 2 √2 したがって,f(0) は πC 20+ すなわち = 7 で最大値 3+√2 2 この各辺に を加える。 4 2 20すなわちで最小値1をとる。 利用

数lの三角形の外心と垂心にについての問題です。 黄色い線で引いたところが分からないです。 自分は、①からNMとBCが等しいと分かったから③になると思ったのですがネットで調べたところ、平行＝等しいではないと書かれていたので、③の成り立つ条件が分からなくなりました。 稚拙な文章... Read More

69 Ca 20° A 30 B ●362 基本事項 3 ば、(1)にお 外接円を考 367 基本 例題 67 三角形の外心と垂心 00000 ABC の辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, N とする。 △ABCの 明せよ。 ただし, △ABCは鋭角三角形または鈍角三角形とする。 外心OはLMN の垂心であることを、次の3つのことを示すことにより証 OLINM, ONILM, OMILN CHART & SOLUTION p.362 基本事項 3. 三角形の外心と心 区別をはっきりと 外心 垂心 3辺の垂直二等分線の交点 3頂点から対辺またはその延長への垂線の交点 また, 中点連結定理を利用する。 この例題において、 例えば△ABC と中点N,Mに対して 忘れぬ AN=NB, AM=MC NM//BC 3 7 解答 N,Mはそれぞれ辺 AB, CA の 中点であるから 鋭角三角形 NM // BC A . ① 点Oが ABC の外心 ⇒点0は辺BCの垂直二 等分線上にある。 を利用。 角) x2 点OはABCの外心であり, 点L は辺BCの中点であるから N MO 0 0 h 三角形の辺の外心、内心、重心 ①,② から OLLBC OLINM ・② ・③ B B L H C 同様に, 点L, M はそれぞれ 辺BC, CA の中点であり, 鈍角三角形 A ON⊥AB であるから B N M ONILM ④ 点L, Nはそれぞれ辺BC, AB の 中点であり, OMICA であるから B 2 # AC L OMILN *****. ⑤ ③ ④ ⑤ から, 点Oは△LMN CA: CD- 垂心である。 とし nf △ABC が ∠A=90° の直角三角形の場合, △LMNは ∠L=90° の直 角三角形となり △ABC の外心O (点L)は△LMN の垂心となる。 ① inf, 単に 「Oが△LMN の垂心であることを証明せ よ」 という場合は,左の解 答において, ③~⑤のうち HA2つを示せばよい。 MOS-HA

重要例題111の類題としてpractice111を解こうと思ったのですが、どのように解いたらいいですか？？ ℓtをtについて整理して、二次方程式をつくる所まではやってみたので、その先を教えていただきたいです！ どなたか分かる方教えてください！！🙇‍♀️

178 重要 例題 111 直線が通過する領域 を実数の定数とする。 直線 2kx+y+k=0... ① について、 ての実数値をとって変わるとき, 直線 ①が通る領域を図示せよ。 ①について、んがすべ CHART & SOLUTION 直線が通過する領域 実数 k が存在する条件をx, y で表す...... 直線 ①が点(x, y) を通る⇔ ①を満たす実数が存在する ①をkについての2次方程式とみて、次の同値条件からxとyの関係式を求める。 2次方程式が実数解をもつ ⇔ 20 別解 解答 2変数 x,yのうち,まず,xの値を x=tと固定して,yのとりうる値の範囲を める。 その後,tの値を動かしてみる。 ①をkについて整理すると k2+2xk+y=0 ② 直線 ①が点(x, y) を通る条件は,②を満たす実数kが存在 することである。 kの2次方程式 ②の判別式をDとすると D= x²-y y 大量 y=x2 4 OD≧0 から したがって, 直線 ①が通る領域は, 放物線 y=x2 およびその下側の部 分で,図の斜線部分。 ただし, 境界 線を含む。 INFORMATION 法 ← ② を満たす実数 在しないとき が点(x, y) を通 はできない。