(2)の1行目から2行目の変形はどうやってしますか？

2章 微分法 ★☆☆☆ 例題 62 微分係数と極限値 公開 関数 f(x) が x = α において微分可能であるとき、次の極限値をa, f(a), ★★☆☆ f (a) を用いて表せ。 f(a+2h)-f(a-h) (1) lim (2) lim {af(x)}_{xf (a)}2 x-x-a noirs ( 7617 思考プロセス 定義に戻る 微分係数の定義 f(a+□)-f(a) f' (a) = lim- ・・・① または f'(α)= =lim f()-f(a) ロー ... 2 0 ☐ (1) ① の形に似ている。 f(a+)-f(a) の形をつくって調整 f(a+2h)-1 + -fla-h) (与式)=lim →0 [f(a+2h)- lim 0 h 2hにしたい +h)-1 →2af (a) (2)②の形に似ている。 分子は ( {af(x)+xf (a)}{af(x)-xf (a)} x-a 0 lim (af (x)+xf (a)). af (x)-xf (a) ②の利用を考える x-a Action» 関数 f(x) を含む極限値は、微分係数の定義を利用せよ (x)\ll (与式)=lim x+a )を掛け 圖 (1)(与式) = lim h まずし ff(a+2h)-f(a) ・2+ e)+1 = 2h -h | f ( a − h) = f (a) } | f(a+2h)-f(a)+f(a)-f(a-h) (0)\ h +01 fla-h)- ームにしたい したい h A )2- ( 2の形。 0 あるが = {af(x) x-aL (a)] = f'(a) 2+ f'(a) =3f'(a) 化 (2)与式)=lim x-a 前項は分母を2hにして から2を掛けて調整し、 後項は分母をんにして 符号を調整する。 h0のとき {af(x)+xf (a)}{af(x)-xf(a)}(0) 2h0,-h0 = lim {af(x) + xf (a)}・ x+a であることに注意する。 x-a {af(x)-xf(a)} 分子を因数分解する。 x-a 不定形になる部分を f(x)-f(a) = lim {af(x) + xf (a)} x-a × af (x) - af (a) + af(a)-xf (a)] f(a)}] 0 分けて考える。 f'(a) = lim x-a 形をつくるために “-af (a) + af (a)” を追加 して考える。 x-a = lim (af (x) + xf(a)){a. f(x) = f(a) =2af (a){af (a)-f(a)} x-a 62 関数 f(x) が x = a, d' において微分可能であるとき,次の極限値を α, f'(a), f(a), f' (a) を用いて表せ。 (1) lim f(a+3h)-f(a+2h) h tol x²f(a²)-a² f(x²) (2) lim x-a x-a 125 p.138 問題62

数Ⅲ微分でわからないところがありました 写真の3行目以降、なぜa^2で括ってそこは微分しなくていいんですか？ 括った部分が微分そのまま＋そのまま微分で計算してるのは分かります 教えてください🙇‍♀️

dS de B ac {a+(2a cos 0+a)}-asino la+(20 =a² sin (cos 0+1) =a²{cos (cos +1)+sin(-sin0)) =a²{cos (cos +1)-(1-cos²0)} =a²(cos +1)(2 cos 0-1)

対数微分法の問題で yぶんのy’にして考えるのはなぜですか？理由がわかりません。

①y= x²(x-1) X-2 両辺の絶対値の自然対数をとると 088-097771 X-2 y=√ log/yog +209x+x-1-x-2. 33/20 = y 2 2x²-2x+4 37 8-3 3- y = x+x-1 X-2" x(x-1)(x-2) 2x²-7x+4x(x) x (2x=7x+4) x(x-1)(x-2)x-2 (X-2)²

数学　アからセまで教えてください。

68 図形と最大・最小(微分法) 座標平面上の放物線y=3x2 をCとし, 放物線 y=x²-2x+4 をDとする。 また, 2つの 放物線 C D の交点をA,Bとする。 ただし, x座標の小さい方をAとする。 点A, B の x 座標はそれぞれ アイウである。 Pを放物線D上の点とし, Pのx座標をαとする。 Pからx軸に引いた垂線と放物線Cとの オ 交点をHとする。 このとき, 点Hのy座標はエ a である。 ある。( [アイ <a<ウ のとき, PH=-| のとき, PH=カーキα+クであり,△PHB の面 |ケ 積S(a) は S(α)=a -コα+サと表される。 したがって, S(α) は α=シス のとき, 最大値 セをとる。 > p.1085

画像右のぐるぐるっとしているところの、理由や原理みたいなものを教えて欲しいです🙇🏻‍♀️この文ではよく理解できませんでした

①) 3次関数のグラフにおいて, 接線の本数は接点の個数 に等しいから,点 (20) を通る曲線Cの接線の本数 u=h(a) は,a についての方程式 h (α)=0の異なる実数解の個数と一致する。 u=h(a) のグラフはα軸と異なる3つの共有点をもつから, 3次方程式 h(α) =0 は異なる3つの実数解をもつ。 したがって,点(20) を通る曲線Cの接線の本数は 3本 (3) a>0 のとき, 0以上のすべての実数xに対して不等式 f(x)≧g(x) が 成り立つことを証明するためには,関数F (x) をF(x)=f(x)-g(x) と 定めて,x≧0においてつねに F(x)≧0 が成り立つことを示せばよい。 F(x)=f(x)-g(x)=(x-3x)-{3(α2-1)x-2a*} =x-3ax+2a=(x+2a)(x-a) (9) F'(x)=3x²-3a²=3(x²-α²)=3(x+a)(x-a) (②) a>0 であるから, x≧0 における F(x)の増減表は次のようになる。 a (50) 【直線 y=g(x)は曲線 y=f(x) 上の点 (a, f (a)) における接線で あるから,f(x)-g(x) は (x-α)2で割り切れる。 x 0 F'(x) + F(x) 2a³ 0 7

赤線部の作業をするのはなんのためですか？ お願いいたします🙇🏻‍♀️

82 媒介変数で表された関数のグラフ x=0 sin0 xy 平面上で媒介変数を用いて y=1-cos0 (0≦0≦2) で表さ れる曲線C上の点Pにおける接線が軸の正方向との角をなすとき, (2) 点Pの座標を求めよ. (1) Cのグラフをかけ. 精講 (1)媒介変数で表された関数の微分については64 で学びました。 ここでは,それを用いてグラフをかく練習をしましょう.最大の ヤマは増減表のかき方です。 解答の中では,スペースの関係上, d²y 64で求めた をそのまま(途中を省略して) 使ってあります。 dx2 (2) 直線と軸の正方向とのなす角をαとすると(ただし,一覧<<そ の直線の傾きは tanαで表せます. (IIB ベク58) 解 答 (1)082 のとき, 注参照 d.x dy dy sinė =1-cos 0, = sin より de do dx 1-cos d²y また, 10 <0 64 dx2 (1-cos 0)² よって, グラフは上に凸. また, dy -= 0 とすると dx sin0=0 ∴. 0=π(0<0<2πより) 1-cos0 >0 だから, 増減は右表のよう ... π ...* 2π π ... 2π 0 0 になる.また, I 0 dy lim dy. = = lim sin0(1+cos0 ) + 0 dx 0-+0 dx 0-+0 1-cos20 y 10 2 =lim 1+cos 0+0 sine =+∞ 0-2π=t とおくと, 0 2-0 のとき,t-0 50 (5) dy lim 0-2-0 dx sin (2n+t) =lim to 1-cos (2+t) I > 0

一対一対応数II微分 赤線部になる理由がわかりません💦

7/27 9 接線の本数 関数 y=x-3.xのグラフについて, (1) グラフ上の点(p, が-3p)における接線の方程式を求めよ。 に (2) グラフへの接線がちょうど2つ存在するような点を (a, b) とする. このとき, (a, b)が ( (中央大商/一部変更) 存在する範囲を図示せよ. 接線の方程式 定点 (a, b) から, 曲線y=f(x) に引ける接線 定点を通る接線を求める を求めるには、曲線 y=f(x)の全ての接線を考え,その中で (a, b) を通るも のを求めるとよい。具体的には、曲線y=f(x) 上の点(t, f (t)) における接 線の方程式y=f(t) (xt)+f(t)に(x, y) = (a,b) を代入して、その式 を満たすようなt を求める. これが,接点のx座標である。 実際に代入すると, b=f'(t) (a-t) +f (t)① この式はについての方程式で、 例えば実数解が2個あれば,それらをx座標とする点において, 点(a, b) を通る接線が2本引ける f (x)が3次関数の場合, ①の異なる実数解の個数と, 定点 (a, b)から曲線y=f(x) に引ける接線の本数は等しい (解答の後の注参照). 曲線y=f(x) 上の点 (t, f (t)) における接線の方程式は,傾きf(t)で, (t, f(t)) を通る直線の方程式なので,y=f(t) (xt)+f(t) y=f(x) (a, b) (エ)\ 解答 (1) C:y=3xについて, y'=3ー3であるから,エ=pにおける接線の 方程式は y=(32-3)(x-p)+p-3p (2) (1) の接線が (a, b) を通るとき, y=(3p2-3)x2p3 b=(3p2-3)a-2p³ ∴.2が-3ap2+3a+b= 0 ・① 点 (a, b)を通り Cへの接線がちょうど2つ存在するための条件は、かの3次方 程式①の解がα, α, β (α,Bは実数で, αキβ) となること･･････ ② である (注) (2) f(p)=23-3ap2+3a+b (①の左辺) とおくと, f'(p)=62-6ap=6p(p-a) であるから,②となるのは、 右図より, a = 0 かつ 「f(0)=0またはf (α)=0」 のとき. q=f(p)| B a p YA a0 かつ「3a+b=0または-+3a+b=0」 \ よって, 点 (a, b) が存在する範囲は a B g y=f'(p)(x-p) + f (p) 3次関数の場合, 接線と接点が1 対1に対応する y=x3-3x3(土)ーは 01 一般に3次関数y=f(x)のグラ フに対して引くことができる接 線の本数は,領域ごとに下図のよ +1913.\s (1071 x=0 かつ 「y=-3x または y=x3-3r」 10 x=0におけるCの接線がy=-3であることに注意し て,これらを図示すると, 右図のようになる (ただし, 白丸は除く). y=-3x 2本) y=f(x)/ 注 3次関数の場合, 接線の本数は①の解の個数に等し いが, 4次関数では, 右図のように, 接線1本に対して接 点が2個ある場合があるので, 3本 1本 we 2本/ 1本 (接線の本数)=(解の個数) は一般には成り立たない I) 1本 3本 2本 9 演習題(解答は p.128 ) る.このとき (α,β) の範囲を求め, 図示せよ ただし, α > 0 とする. 曲線y=x6z2上の4つの異なる点における接線が,いずれも点 (α,B) を通るとす (t, f(t)) での接線が (千葉大・理一後) (α, β) を通るとする. 122

数３微分 画像二枚目、なぜ最大値がわかるのですか？

長さ2の線分OB を直径とする下半円上の動点をQと し、OPQの面積をSとする. 長さ1の線分 OA を直径とする上半円上の動点をP, P O (1) ZAOP-8, ZBOQ= (0<< 2. 0<<) Ł (0<<<<)と するとき, Sを0とで表せ (2) Sの最大値を求めよ. ・精講 (1) 直径といえば, 対応する円周角 解法のプロセス を連想します. このことから 直径に対する円周角は 2 角公式 OP, OQ の長さがわかるので, Sは2辺夾角公式 を使って求められます。 (2) 2変数関数の最大、最小問題では 一方の変数を固定せよ が定石とされています。 1つの変数を固定して予 選を行い、 次に固定した変数を動かして決勝を行 って、勝ち残ったものが最大値あるいは最小値と いう方法です.ただし,本間の場合, S=cosocose sin (0+4) となり,0とはいずれも2か所にあるので,こ のまま一方の変数を固定しても考えやすくなるわ けではありません. そこで,いったん =1/12 (cos (0+p)+cos(0-2)}sin(0+¢) 変形して, 変数を母とから0と0-4 に変換し、 初めに 0+p を固定します。 解法のプロセス 変数を とから, 0+pと0-pに変換 0+p を固定して予 ↓ +を変化させて決勝 解答> (1) OP = OA cos0=cos0 OQ=OBcosp=2cosp であるから S=1/2 OP・OQ・sin (0+9)=cos0cososin(0+p) 0

解説お願いします。 (2)の問題で、1行目のマーカー部分の変形をする理由がわからないです。 私は変形しないまま解いて間違えたのですが、変形しないままで正答を出す方法はあるのでしょうか？ 解説が式変形をしている理由と、変形しなくても解ける解き方があればその解き方を教えていただ... Read More

例題 251 定積分で表された関数 合 頻出 ★★☆☆ 次の等式を満たす関数 f(x) と定数 αの値を求めよ。 *f(t) dt = 3x²+x2 ② f(t)dt = 3x-ax+1 *f(t) dt は、 の関数である。 例題 250 との違い … 等式に定積分を含むのは同じであるが、積分区間に変数xを含む * f (t)dt = [F(t)] = ← a = F(x)-F(a) xの関数 見方を変える xで微分すると off(t)dt= = d{F(x)-F(a)}=f(x) dx dx =0 思考プロセス clione x= を代入すると f(t)dt = Action» f(t)dt を含む等式は,xで微分せよ 16(1) a b) (x=th(3) 解 (1) 与式の両辺をxで微分すると, caf*f(t)dt=f(x)より f(x) =6x+1 ・a ( =(1) ① --- 与式にxa を代入すると, "f(t)dt=0 より ff(t)dt=0 を用い (10=3a2+α -2 TAM (3a-2) (a+1)= 0 より 2 るために、積分区間の下 端のαをxに代入する。 a= 3 1536th(+ x 8-= ① LF dt = - [Fa == f(t)dt M(1) (2) 与式は ∫*f(t)dt = -3x+ax-1 ①の両辺をxで微分すると, dxf (edt=f(x)より f(x)=-6x+α ① に x=1 を代入すると,f(t)dt=0 より よって 0= -3+α-1 a=4 ②に代入すると f(x)=-6x+4 積分区間の上端と下端が 一致するようなxの値を 代入する。

増減表のy’の符号決定について質問です。 右のように考えたのですが、そうすると答えと符号が一致しません。 なぜこれではダメなのでしょうか？🙇🏻‍♀️

79 微分法のグラフへの応用 (III) log x y= (x>0) 増減 極値,凹凸,変曲点,漸近線を調べて,グ ラフの概形をかけ. ただし, lim =0 を用いてよい. 10001 e 78と全く同じ問題形式をしていますが, ただし書き 「lim/s=0」の 精講 部分に違和感がありませんか? これが,漸近線を求めるために与えてあることは想像できるでしょうか? しかし、与えられた関数は対数ですからこのままでは使えません. 1 ・x-logz.1 y' = x 1-logx 202 2 解答 られる '=0を解くとx=e 立 1 y"=x x4 x²- (1-10g.x) ・2 -3+210gg=0を解くとx=el よって、増減、凹凸は右表のようになる ので IC 0 ... e ... e2 y' + 0 極大値 1/(x=eのとき), e y" - 0 + 変曲点 (ed.) 3 3 ez, y ↑ 3 2ez 1e 3 2 2ež ここで, lim log x =18 x+0 IC (注1) ゆえに、y軸が漸近線. t=logx とおくと,et=elogzx (注2) t log x .. et JC YA そして,x→∞のとき→∞であるから e log x y= 2C lim →8 IC log x t→∞ =lim =0 となりx軸も漸近線. 3 2ež mil よって, グラフは右図. 01 e 20 e2