例題27 グラフの概形と漸近線の方程式
関数 y=x+1+√x2+1 の極値、凹凸などを調べ、そのグラフの概形をかけ。
また漸近線の方程式を求めよ。
考え方 関数 y=f(x) のグラフの漸近線
(i) y 軸に平行な漸近線
_lim_f(x), lim f(x) の少なくとも一方が∞, または のとき, 直線
x-a-0
x→α+0
x=α は漸近線である。
(茸) y軸に平行でない漸近線
lim{f(x)-(ax+b)}=0 または lim {f(x)-(ax+b)}=0 となるα, bがあ
X18
るとき, 直線 y=ax + b は漸近線であり, α, 6は,次の式で求められる。
f(x)
lim
=a,
→土∞ XC
y'=1+-
x
√x2+1
/x2+1-x.
lim {f(x)-ax}=b (複号同順)
X→ +∞
x2+1+x
Vx2+1
>0
y"
x
✓x2+1
x2+1
x2+1-x2
1
>0
(x²+1)√x²+1 (x2+1)x2+1
したがって, yはつねに増加し, グラフは下に凸である。
x→∞ のとき, 漸近線の方程式を y=ax+b とすると,
a=lim
x→∞
x+1+√x2+1 lim (1+1+1+)-2
X
xx
x
V
=2
b=lim(y-2x)=lim(x+1+√x2+1-2x)=lim (1+√x2+1-x)
x-00
X→00
x→∞
= lim (1+x+1)=lim(1+2+1+x)=1
x→∞
また,x→∞ のとき, t=-x とすると,
lim y= lim (x+1+√x2+1)
==
= lim(-t+1+√2+1)
00 +7
-2t
t+1-√2+1
YA
=lim
2
2
=lim
=1
1- + 1+
V
12
1
よって, 漸近線の方程式は、
y=2x+1,y=1
10
グラフは右の図のようになる。
y=2x+1
y=1
