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次のxについての方程式の解を判別せよ.ただし,kは実数と
する.
(1) 2-4x+k=0
精講
(2) kx²-4x+k=0
16-484
16-4k
「解を判別せよ」とは,「解の種類(実数解か虚数解か) と解の個数
について考えて,分類して答えよ」という意味です。ということは、
(1) (2)も2次方程式だから, 判別式を使えばよい!!」と思いたくな
るのですが、はたして…......
次のように分類できる.
(i)4-k0 すなわち, k<-2,2<kのとき
D<0だから, 虚数解を2個もつ
(ii) 4-k=0 すなわち,k=±2 のとき
D = 0 だから重解をもつ
() 4-k20 すなわち, -2<k<2 のとき
D> 0 だから, 異なる2つの実数解をもつ
(ア)(イ)より,
k= 0 のとき, 実数解1個
FOR 8
k<-2,2くんのとき, 虚数解 2個
k=±2 のとき,重解
2<k<0,0<k<2のとき, 異なる2つの実数解
注 (2)のk=0 の場合と k=±2 の場合は,いずれも実数解を1個も一
ているという意味では同じように思うかもしれませんが, 2次方程
の重解は活字を見てもわかるように元来2個あるものが重なった状態
を指し, 1次方程式の解は、元来1個しかないのです。 だから, 答案
は区別して書かないといけません. 仮に,「kx²-4x+k=0が異な
解をもつ」 となっていたら 「k≠0 かつ D≠0」 となります.
問題文の1行目をよく読んでください.
「次のxについての方程式・・・・・・」 とあります. 「次のxに
いての2次方程式 ･･････」とは書いてありません. よって,
の方程式は k= 0 となる可能性が残されているのです. だから,
のxについての2次方程式…………」 となっていたら、 すでに 「k≠0_
前提になっていることになり, 解答の ) は不要となります.
(1) 2-4x+k=0 の判別式をDとすると,
D
4
=4-k だから.
この方程式の解は次のように分類できる.
(i) 4-k<0 すなわち, k>4のとき
DO だから、虚数解を2個もつ
D<0
(靴)
(ii) 4-k=0 すなわち,k=4のとき
D=0 だから,重解をもつ
D=0
参考
(i) 4-k>0 すなわち, ん<4のとき
<D>0
D> 0 だから, 異なる2つの実数解をもつ
(i)~ (ii)より,
k>4 のとき, 虚数解2個
k=4 のとき, 重解
しん<4のとき、 異なる2つの実数解
(2) (ア)=0 のとき
k=0のときは1次
与えられた方程式は4x=0
(イ)のとさ
.. x=0
kx2-4x+k=0 の判別式をDとすると
D=4k だから、この方程式の解は
4
方程式なので判別式
は使えない
ポイント 判別式は2次方程式でなければ使えないので, 2
数が文字のときは要注意
演習問題 17
(1) 2-(k+1)x+k2=0
を実数とするとき,次の2次方程式の解を判別せよ.
(2) kx2-2kx+2k+1=0
