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DOOO
基本 例題59
/7 が無理数であることの証明
7は無理数であることを証明せよ。ただし, nを自然数とするとき, n° が7の
倍数ならば,nは7の倍数であることを用いてよいものとする。
[類 九州大)
基本 58
指針> 無理数であることを 直接証明することは難しい。そこで、 前ページの例題と同様
O 直接がだめなら間接で 背理法
2重
に従い「無理数である」
つまり,V7 が有理数(すなわち 既約分数 で表される)と仮定して矛盾を導く。.
補足 2つの自然数 a, bが1以外に公約数をもたないとき, aとbは 互いに素である
「有理数でない」 を,背理法 で証明する。
7
(数学 A参照)といい, このとき, は既約分数である。
と
hmd
日
解答
7 が無理数でないと仮定すると,1以外に正の公約数をもた
のない自然数a. 6を用いて, V7 =ーと表される。
a
V7 は実数であり, 無理数
でないと仮定しているから,
有理数である。
このとき
両辺を2乗すると
よって, α'は7の倍数であるから, aも7の倍数である。
ゆえに, cを自然数として, a=7cと表される。
この両辺を2乗すると
0, ② から
よって, 6°は7の倍数であるから,bも7の倍数である。
ゆえに, aとbは公約数7をもつ。
これは, aとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾する。
したがって, V7 は無理数である。
a=V76
a=76°
の
1例題の 「ただし書き」を用
いている。
a'=49c?
76°=49c? すなわち 6=7c?
これも,「ただし書き」によ
る。
