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51のn乗根
(東北学院大・文教製
(ア) 複素数 α が α=1を満たしているとき, A=(1+α)(1+α^)(1+α*) (1+α)の値を求めよ
54
(イ) 複素数z z = cos72°+isin 72° とする.
(1) z" =1 となる最小の自然数nはn=である.
(2) 24+2+22+z+1=
z=1を満たす (=1のn乗根)
2-1=(z-1)(27-1+2"-2+..+z+1)
となるから,2"=1のときz+1ならば, z"-1+2"-2+ + z+1=0 を満たす。
次に,ド・モアブルの定理を用いて, z"=1を解いてみよう.z"=1により,
|z|"=|z"|=1であるから, |z|=1であり, z= cos0+isin0 (0≦0<2π) と
おける. ド・モアブルの定理により, z" を計算する.
z"=1のとき, cosn0+ isinno=1
cosn0=1, sinn0=0
∴n=2πxk(0≦x<2π×nにより, k = 0, 1,2,.., n-1)
-Xk+isin
を求め、 1のn乗根は, Z = Cos
点2は、図のように点1を1つの頂点とする正n角形のn個の頂点になっている
2x
cos ( 2² 7 ( 2 1 × R)
n
n
1
1-²
「解答」
(ア) α-1=0 により, (α-1)(α+α3+α²+α+1)=0
α=1のときA=24=16である. 以下, α=1のときとする.
α5=1のとき, α = α5.α3=α3であるから,
A= (1+ a)(1+a²). (1+aª) (1+α³) = (1 + a² +a+a³)(1+a³+aª+a²)
=(1+α+α2+α3)(1+α+α+α²) ( ∵ α=1によりα7=α²)
α=1と①により,1+α+α²+α3+α4=0.........② であるから,
A = (-α4) (-α)=α=1
(イ) (1) z"=cos (72°×n) +isin (72°×n)･････ ① であるから,
z"=1⇔ 72°×nが360° の整数倍nが5の整数倍
よって, 求めるnは, n=5
(2) 25-1=0により, (z-1)(z4+23+z²+z+1)=0
z=1により, z4+2+z'+z+1=0
これに ① を代入する. 実部=0である. 72°×5=360°に注意して,
cos (72°×4)+cos (72°×3)+cos (72°×2)+cos72°+1=0
∴. cos (-72°) +cos (-72°×2)+cos (72°×2)+cos72°+1= 0
∴.2cos72°+2cos (72°×2)+1=0
+
cos72°+cos144°である。
2-1 を因数分解すると,
イ
1-24
I
cos 72 +cos 144°=--
23
2
22
y
Ox
ZA
(k=0, 1,2,..,n-1) のn個
5 演習題 ( 解答は p.66 )
(1) 複素数zが,z=1, z=1を満たすとき, (1-z) (1-22)=ア,
1
1-22
(2) 複素数zが,25=1, z=1を満たすとき, (1-z) (1-22) (1−2²) (1-24)=ウ,
1
1
1
+
+
1-² 1-22 1-23
(東京理科大 理工)
23
25
n=6の場合
■Aを(ひとまずは=1を使わ
ず) 展開すると,
1+α+α²+..+α15
03 ここで=1を使うと
1+a+a²+a^²+a^
+(1+a+a²+²³+ a²)
+(1+a+a²+³+a²) +1
となるので, α=1のとき②から
A=1
y+
21
24
|1=20
(ア)
BA,
(イ)
ある
(ウ)
PC
(2) 25=1が使えるよ
うな2つをペアにする。
