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11 確率の最大値
きれているのが致した。頑をを取り出すとき、2枚だけが
号で残りの(k-2)枚はすべて異なる番号が書かれている確率をp (k) とする.
(1)
p(k+1)
p(k)
(4≦k≦9) を求めよ.
つず
A
ある
福岡教大/一部省略)
(2) (k) (4≦k≦10) が最大となるkを求めよ.
確率の最大値は隣どうしを比較
確率 (k) の中で最大の値 (または最大値を与えるk) を求める
問題では、隣どうし[p(k)とか(k+1)] を比較して増加する [p(k) p (k+1)]ようなkの範囲を求
(k) (k+1)の大小を比較すればよいのであるが,p(k)とか(k+1)は似た形をしているの
で
力(k+1)
p(k)
を計算すると約分されて式が簡単になることが多い。
p(k+1)
p(k)
≧ 1⇔ p(k) ≤ p (k+1)
である.
解答
(1) 30枚からk枚 (4≦k≦10) を取り出す取り出し方は 30Ck通りあり,これ
らは同様に確からしい.このうちで題意を満たすものは 同じ番号の2枚につい
て番号の選び方が10通りで番号を決めると色の選び方がC2 通り, 異なる番号
の (k-2)枚について番号の選び方がCk-2 通りでそれを1つ決めると色の選び
方が3k-2通りある.
10-3-9Ck-2-3-2
よって, p(k)=
30Ck
p(k+1) 9Ck-1-3k-1
p(k)
30Ck
10-3 を約分
30Ck+1 9Ck-2-3-2
(k+1)! (29-k)!
30!
9!
(k-2)! (11-k)!
-.3
←順に,
30!
k! (30-k)! (k-1)! (10-k)!
9!
3(k+1) (11-k)
1
30Ck+1
最後の3は3-1と3-2 を約分.
1
30Ck, 9Ck-1,
9Ck-2
(k-1) (30-k)
(2) p(k) sp(k+1) s
)=
p(k+1)
p(k)
≧1⇔
3(k+1)(11-k
-≧1
p(k)>0, p(k+1)>0
(k-1) (30-k)
①
は
を
D
⇔3(k+1)(11-k) ≧ (k-1)(30-k)⇔k(2k+1)≦63
5.(2·5+1)<63<6·(2・6+1) であるから, ①を満たすにはk=4,5で①の等 kは4~9の整数
号は成立しない。 よって
p(4)<p(5)<p(6), p(6)>p(7)>p(8) >p (9)>p(10)
となり, p(k) が最大となるんは 6.
11 演習題 (解答はp.52)
当たりくじ2本を含む5本のくじがある. このくじを1本引いて, 当たりかはずれか
を確認したのち, もとに戻す試行をT とする. 試行Tを当たりくじが3回出るまで繰り
返すとき, ちょうど回目で終わる確率をp (n) とする.
(1) 試行Tを5回繰り返したとき, 当たりが2回である確率を求めよ.
(2) n≧3として, p(n) を求めよ.
(3) p(n)が最大となるnを求めよ.
(芝浦工大)
n回目が3回目の当たり
なので,それまでに当た
りは2回(3)は例題と
同じ手法を使う.
44
る
3
