04 第1章 複素数平面
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例題22 単位円に内接する正多角形
複素数平面上において, 原点Oを中心とする半径
1の円に内接する正六角形の頂点を表す複素数を,
左回りに 21 22 23, 24, 26, 26 とする。
また、a=cosisin / とする､
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 21+2+2+2+2+26 の値を求めよ。
(2) (1-a) (1-ω°) (1−ω^) (1−ω^) (1-α)=6
であることを証明せよ。
点 1,2,...... 26 は単位円周上の6等分点である。
点21を原点○のまわりに、 -π,
2
3'3
26 に移る(p.54 例題 19注〉> 参照)
(1) Z1,Z2, ...... 26 は単位円周上の6等分点である.
また、acosisinは,点z を原点Oのまわり
に今だけ回転させる複素数であるから,
22=a21
23=0z2=Q2z1
26=025=0521
となるので,
21+22+23+2+25+26
1文字
+z+α2z1+°z+αz]+α°21] …....①
① は,初項 21, 公比 α の等比数列の初項から第6項ま
での和である.
α=1 より,
となる.
zi+z2+2+2+25+26=-
ここで,
-(cos+isin)
=cos 2π+isin 2π
=1
conisin / よって、
26 = 1
が2-1=0の解となる.
21+22+23+4+25+26= 0
(2) (1)より,@は1の6乗根の1つであり、
1, la, la, la, la, las 6分
よって,
_2₁(1-a)
1-a
24
zna
(半径121の円6等分
5 だけ回転させると、それぞれ
y
0
④文字減らし!!
2月
初項 公
(1) の等比
の初項から第
までの和は、
zi(1-a")
1-a
p.54 例題 19
注》参照
Focus
練習
22
***
