こちらの問題の②の分かりやすい解説をお願いしたいです。 都立の過去問です。

A° [問2〕 右の図2は, 図1において, 頂点Cと点Pを結 図2 び、頂点Aを通り線分 CPに平行な直線を引き, 線分 DP との交点をR, 辺CDとの交点をSとした場合を て 表している。 次の0, 2に答えよ。 ① △AQRの△CQP であることを証明せよ。 2 次の口の中の「い」 「う」「え」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。 S00 図2において,AP: PB=2:1のとき,△AQRの面積は,四角形 APCS の面積の D R みの P+Qの P、 B C[SM) い 倍である。 うえ して 次の問題を作った。 S

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(1) 中心 C(C), 半径rの円 C上の点P。(bo)における円の接線のベクトル方程式 「基本 例題40 円の接線のベクトル方程式 r は(あ-2)(万-c)=r?であることを示せ。 (2) 円x°+y°=r(r>0) 上の点(xo, Yo) における接線の方程式は Xox+ yoy=r? であることを,ベクトルを用いて証明せよ。 基本 34 指針>(1) 円Cの接線eは,接点 P。 を通り,半径 CP。 に垂直 すなわち, CPoは接線lの法線ベクトルである。このことから直線&のベクトル方程式 を求め(…………7), 与えられた形に式を変形する。 (2) 中心が原点O(0), 半径がヶの円上の点P。(か)における接線のベクトル方程式は, (1)においてc=0とおくと得られる。それを成分で表す。 CHART 円の接線 半径上接線に注目 解答 -1) 中心 C, 半径rの円の接線上に 点P(b)があることは, CP,LP.P またはP.F=0 が成り 立つことと同値である。 よって,接線のベクトル方程式は CP(カーD)=0 CP。= Do-cであるから (の-)-((6-)-(o-c)}30 P。(Po) である 4点A(a)を通り, ベクトル nに垂直な直線のベクトル 方程式は 7(6-a)=0 したがって (万-)·(カ-)-17-でパ=0 6-c=CP?=rであるから (Do-)(6-2)=r 0 2) 中心が原点 0(), 半径ヶの円上の点P。() における接線 のベクトル方程式は, ① において, c=0 とおくと得られる Dop=r… ② =(xo, J0), 万=(x, y) とおくと これを2に代入して, 接線の方程式は 検討 (1) ZPCP。=0 (0°S0<90°)とおくと (あ-)-(6-d) =CF.CF =CP。×CP cos0 BC から po*p=Xox+ yoy =rXr=r? (PPoICP。であるから \CP cos03DCPo=r Xar+yoy=r? 0片 レA

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DOOO0 基本 例題 36 交点の位置ベクトル (2) (1) 線分 CM と FE の交点をPとするとき,APをも, à で表せ。 (2) 直線 AP と対角線 BD の交点をQとするとき,AQ をも, d で表せ。 基本 24, p.433 基本事項 2] 指針>(1) CP:PM=s:(1-s), EP: PF=t: (1-)として、か418基本例題 24(1) と同し女味 交点の位置ベクトル 2通りに表し 係数比較 で進める。 (2) 点Qは直線 AP上にあるから, AQ=kAF (k は実数)とおける。 点Qが直線 BD上にあるための条件は AQ=sAB+tAD と表したとき s+t=1(係数の和が1) 章 5 解答 (1) CP:PM=s: (1-s), EP: PF=t:(1-t)とすると d D AF=(1-s)AC+sAM=(1-s)(5+à)+5 11 F S M 1-s 2 3 AF-(1-)AE++AF=(1-8)(5+号)+1は++6) 1+2ta P B-1/E 2 C 3 三 って。 あ+0, àキ0, 6x ā であるから 3 aO+A0(1-1)=| 1-ラー1- 3 1+2t 6, àの係数を比較。 t, 1-s=- 3 7 ゆえに AF=ち+-d 13 4 6 t= 13 よって s= 13 13' (2)点Qは直線AP上にあるから, AQ=kAP (k は実数)と おける。 10 7 kAB+RAD よって - - 7 +94 13 7 10 AQ= AQ=k(5+ 13 13 13 13 13 点Qは直線BD上にあるから 10 k+ 13 -k=1 |(係数の和)=D1 13 13 k= 17 したがって AQ-+ p ゆえに 17 練習| 平行四辺形 ABCD において, 辺 ABを3:2に内分する点をE, 辺 BCを1:2に 36 内分する点をF, 辺CDの中点を Mとし, AB=6, AD=ā とする。 6くALル方程式 たから な。

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DOOO0 基本 例題 36 交点の位置ベクトル (2) (1) 線分 CM と FE の交点をPとするとき,APをも, à で表せ。 (2) 直線 AP と対角線 BD の交点をQとするとき,AQ をも, d で表せ。 基本 24, p.433 基本事項 2] 指針>(1) CP:PM=s:(1-s), EP: PF=t: (1-)として、か418基本例題 24(1) と同し女味 交点の位置ベクトル 2通りに表し 係数比較 で進める。 (2) 点Qは直線 AP上にあるから, AQ=kAF (k は実数)とおける。 点Qが直線 BD上にあるための条件は AQ=sAB+tAD と表したとき s+t=1(係数の和が1) 章 5 解答 (1) CP:PM=s: (1-s), EP: PF=t:(1-t)とすると d D AF=(1-s)AC+sAM=(1-s)(5+à)+5 11 F S M 1-s 2 3 AF-(1-)AE++AF=(1-8)(5+号)+1は++6) 1+2ta P B-1/E 2 C 3 三 って。 あ+0, àキ0, 6x ā であるから 3 aO+A0(1-1)=| 1-ラー1- 3 1+2t 6, àの係数を比較。 t, 1-s=- 3 7 ゆえに AF=ち+-d 13 4 6 t= 13 よって s= 13 13' (2)点Qは直線AP上にあるから, AQ=kAP (k は実数)と おける。 10 7 kAB+RAD よって - - 7 +94 13 7 10 AQ= AQ=k(5+ 13 13 13 13 13 点Qは直線BD上にあるから 10 k+ 13 -k=1 |(係数の和)=D1 13 13 k= 17 したがって AQ-+ p ゆえに 17 練習| 平行四辺形 ABCD において, 辺 ABを3:2に内分する点をE, 辺 BCを1:2に 36 内分する点をF, 辺CDの中点を Mとし, AB=6, AD=ā とする。 6くALル方程式 たから な。

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E, 辺CD を3:1に内分する点をFとする。AB=6, AD=ā とするとき 基本 例題36 交点の位置ベクトル (2) (1) 線分 CM とFEの交点をPとするとき,AF をち,àで表せ。 直線 AP と対角線 BDの交点をQとするとき,AQ をも, d で表せ。 基本 24, p.433 基本事項 [2] 指針>(1) CP:PM=s:(1Is), EP: PF=t: (1-)として、か.418基本例題 24 (1)と同し女換 交点の位置ベクトル 2通りに表し 係数比較 で進める。 (2) 点Qは直線 AP上にあるから, AQ=kAF (kは実数) とおける。 点Qが直線 BD上にあるための条件は AQ=sAB+tAD と表したとき stt=1(係数の和が1) 1章 解答 1) CP: PM=s:(1-s), EP : PF=t:(1-t)とすると D A AF=(1-s)AC+sAM=(1-s)(5+d)+S5 \F S M 三 3 AF=(1-)AE+tAF=(1-)(5+-)+1は+) 1+2t- 1 P O4AO(-1 B-1/E C 2 3 +0, 古キ0, 万xdāであるから o+A0(-1)= 3 1+2t 6, à の係数を比較。 1- -t, 1-s= 4 3 106+ よって s=品に歳 6 4 ゆえに AP: 13 13' 13 13 点Qは直線 AP上にあるから, AQ=kAP (k は実数)と おける。 よって AG-A(+)=5+台hi |AQ: 13 RAB+kAD 13 AQ=k{ 13 13 13 13 10 k+ 7 -k=1 (係数の和)=1 京Qは直線 BD上にあるから 13 13 13 k= 17 AQ=型6+ つえに したがって 17 17 平行四辺形 ABCDにおいて, 辺ABを3:2に内分する点を E, 辺BC を1:2に 内分する点をF, 辺 CDの中点を Mとし, AB=6, AD=d とする。 5 ベクトル方程式

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DOOOO 基本 例題 36 交点の位置ベクトル (2) (1) 線分 CM と FE の交点をPとするとき,AFをも,àで表せ。 (2) 直線 AP と対角線 BD の交点をQとするとき. AQ をも, d で表せ。 基本 24, p.433 基本事項 [2 で進める。 交点の位置ベクトル 2通りに表し 係数比較 1章 (2) 点Qは直線 AP上にあるから, AQ=kAF(kは実数) とおける。 点Qが直線 BD上にあるための条件は AQ=sAB+tAD と表したとき s+t=1(係数の和が1) 5 -0 解答 (1) CP: PM=s: (1-s), EP: PF=t:(1-t) とすると D AF=(1-s)AC+sAM=(1-s)(6+d)+ F M 1-S 3 b AF-(1-)AE+tAF=(1-)(5+-)+1は+) O4AO0 B -1/E 1+2t- 3 +0, à+0, 6xāであるから +A0(1-1)3D| 1+2t S =1- 2 -t, 1-s= 4 +20 6, à の係数を比較。 3 7 ゆえに AP=05+ 13 13 6 4 よって s=3. t=高 点Qは直線 AP上にあるから, AQ=kAP (k は実数)と おける。 AG=A(-5+)= 10 1 ká 0 +94- 10 AQ= -kAB+ -kAD よって 13 13 13 13 13 7 k=1 13 10 (係数の和) %3D1 点Qは直線 BD上にあるから 13 13 k= 17 したがって AG-+ えに 17 ①にお |平行四辺形 ABCDにおいて, 辺 ABを3:2に内分する点を E, 辺BCを1:2に ロー AD=àとする。 上も ヒ) ベクトル方程H N

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外心の位直 AABC において, AB=4, AC=5, BC=6 とし, 外心を0とする。 AOを限 重要 例題28 ACを用いて表せ。 【類早稲田大) 内 指針> 三角形の外心は,各辺の垂直二等分線の交点であるから,右図の △ABC の外心0に対してD ABIMO, ACINO これをベクトルの条件に直すと よって, A0=sAB+tAC として AB·MO=0. S, tの値を求める。 で トルについ とき、 a, ABIMO, ACNO AC-NO=0 から, M 以下 44 三角が B 解答 4ABC 辺 AB, 辺 ACの中点をそれぞれ M, N とする。 ただし,△ABC は直角三角形ではないから,2点M, Nはと もに点0とは一致しない。 点0は△ABC の外心であるから をDよ 7 4最大辺は BCであり よっ BC?キAB+AC 自 A+0ー0 (*)直角三角形の外心0 (外接円の中心)は, 斜辺の 点と一致する。 また ABIMO, ACINO AB-MO=0, AC-N6=0 AO=sAB+tAC (s, tは実数)とすると, AB·MO=0 から ゆえに LB AB-(AO-AM)=0 よって B-(s--AB++AC=0 …0 AB· 1 0 また, AC-NO=0から AC-(AO-AN)=0 AC-AB+(1--)AC)=0 ここでBCP=|AC-ABf=|ACP-2AB·AC+|ABP 0 画四 J ¥0g t YOXS # ゆえに 2 よって 6°-5°-2AB-AC+4° 点をEとすると 0-000(0S ゆえに AB-AC=- 5 2 よって, ①から(s-)×や+tx--0 5_。 る S すなわち S- 32s+5t=16 3 +tAB-AC=0 また, ② から 5 s× 2 |x5=0 2 すなわち ISAB·AC s+10t=5 の +(-) acf=0 0-10 3, ④から 3 16 t= 7' 35 S= したがって A6=AB+AC 3 A0= 7 16 35 村 9E GE

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外心の位直 AABC において, AB=4, AC=5, BC=6 とし, 外心を0とする。 AOを限 重要 例題28 ACを用いて表せ。 【類早稲田大) 内 指針> 三角形の外心は,各辺の垂直二等分線の交点であるから,右図の △ABC の外心0に対してD ABIMO, ACINO これをベクトルの条件に直すと よって, A0=sAB+tAC として AB·MO=0. S, tの値を求める。 で トルについ とき、 a, ABIMO, ACNO AC-NO=0 から, M 以下 44 三角が B 解答 4ABC 辺 AB, 辺 ACの中点をそれぞれ M, N とする。 ただし,△ABC は直角三角形ではないから,2点M, Nはと もに点0とは一致しない。 点0は△ABC の外心であるから をDよ 7 4最大辺は BCであり よっ BC?キAB+AC 自 A+0ー0 (*)直角三角形の外心0 (外接円の中心)は, 斜辺の 点と一致する。 また ABIMO, ACINO AB-MO=0, AC-N6=0 AO=sAB+tAC (s, tは実数)とすると, AB·MO=0 から ゆえに LB AB-(AO-AM)=0 よって B-(s--AB++AC=0 …0 AB· 1 0 また, AC-NO=0から AC-(AO-AN)=0 AC-AB+(1--)AC)=0 ここでBCP=|AC-ABf=|ACP-2AB·AC+|ABP 0 画四 J ¥0g t YOXS # ゆえに 2 よって 6°-5°-2AB-AC+4° 点をEとすると 0-000(0S ゆえに AB-AC=- 5 2 よって, ①から(s-)×や+tx--0 5_。 る S すなわち S- 32s+5t=16 3 +tAB-AC=0 また, ② から 5 s× 2 |x5=0 2 すなわち ISAB·AC s+10t=5 の +(-) acf=0 0-10 3, ④から 3 16 t= 7' 35 S= したがって A6=AB+AC 3 A0= 7 16 35 村 9E GE

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(2) 2組ずつ, すなわち AB·BC=BC·CA, B.CA=CA·ABについて調べる。1 (2) AB-BC=BC·CA=CA·AB 重要 例題32 内積と △ABC が次の等式を満たすとき, △ABCはどのような形か (1) AB-AC=ACP 2辺のなす角(30°, 45°, 60°, 90° になるかなど)を調べる。 線分の長さ,角の大きさを調べるには, 内積 を利用する。 (1) |ACP=AC·AC から (AB-AC)·AC=0 (内積)=0→垂直か 3* の等式でBC-(AB-CA)=0 ここで, BC を AC-AB に分割する。 A CHART 線分のなす角,長さの平方 内積を利用 13 解答 AB-AC-AC-AC=0 4ACF=AC-AC (1) AB-AC=|ACP から (AB-AC)-AC=0 AB-AC=CB であるから I でB+0. AC+óであるから ゆえに CB-AC=0 CBIAC すなわち CBIAC したがって,△ABC は ZC=90° の直角三角形である。 (2) AB-BC=BC·CA から どの角が直角に 記しておく。 BC-(AB-CA)=0 (AC-AB)·(AB+AC)=0 |ACP-IABP=0 ACP=|ABP すなわち AC=AB… ① よって BC=AC-AB ゆえに 人井な一気CA=-AC よって BC-CA=CA·ABから, 上と同様にして ICA·(BC-AI (BA-BC)-( BAF=BC BC=AB 0-50 0, ②から したがって, △ABCは 正三角形 である。 AB=BC=CA よって BA (0B+300) 検討中点の位置ベクトルを利用する別解 別アプ (2) AB-BC=DBC·CA から ローチ BC-(AB-CA)=0 ゆえに BC-(AB+AC)=0

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指針> (1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交在で (2)(1)の点Hに対して, 3点0, G, H は一直線上にあり GH=20G 428 基本 例題30 線分の垂直に関する証明 [類山梨大) 基本23 本後 ある。 AH+6, BC+0, BH+6, CA+0のとき AH」BC, BHLTA → AH·BC=0, BH.CA=0 A であるから,内積を利用 して, A [(内積)=0] を計算により示す。 0は△ABCの外心であるから, lOA|=|OB|=|oC| も利用。 CHART 線分の垂直 (内積) =0 を利用 |解答 直角三角形のときは ZC=90° とする。 このとき、外心は辺 ABE にある(辺 ABの中点)。 A (1) ZAキ90°, ZBキ90° としてよい。 このとき,外心0は辺BC, CA上 にはない。 OH=OA+OB+OC から AH=OH-OA=OB+O¢ ゆえに AH·BC =(OB+OC)· (Oで-OB) =|oCP-IOBP=0 の B (BC=OC-OB (分) これら (AABC の外心0→ OA=0B=0C (数学A) 同様にして して BH-CA=(OA+oC)- (OA-OC) =|OAF-|OCP=0 AH=OB+OCキ0, BH=OA+OC30 (検討 また,①から よって,AH+0, BC+0, BH+0, CA+0 であるから AHIBC, BH」CA すなわち AHIBC, BHLCA したがって, 点Hは△ABCの垂心である。 外心,重心,垂心を通る直線 (この例題の直線0GH)を オイラー線 という。 ただし,正三角形は除く。 OG= OA+OB+0C =OH から OH=30G (1) から OA+OB+0C=OH 3 ゆえに GH=OH-OG=D20G よって, 3点0, G, Hは一直線上にあり GH=20G |右の図の AB 28 0から