例題118
20
三角比の2次方程式の解の個数
ついて、
****
0の方程式 2cos'0+sin0+a-3=0 •••••• に
180°とする.
(1) ① が解をもつための定数αの値の範囲を求めよ.
(2) ①が異なる4個の解をもつときの定数αの値の範囲を求めよ.
考え方例題 87 (p.164~165) の関連問題
「解答
(1) sind=t とおくと, 1 は, 21-12) +t+α-3=0 より 定数を分離して
直線 y=a と放物線y=2t+10t) の共有点をみるとよい。
(2) 0°≦0≦180°のとき sind=t (0≦t<1) となる0は1つのに対して2個あるこ
とに注意する. (sin0=t=1のときは 0=90°の1つのみ )
(1) sin0=t とおくと, 1 は, 21-t2)+t+a-3=0
より。 a=2t-t+1 ……①'
0°≦0≦180°のとき, 0≦sin0≦1より, 0≦t≦1
y=2t²-t+1,
sin'0+cos20=1より,
cos20=1-sin'0
......(2)
とおくと,
定数αを分離する.
したがって, y=a
②と③のグラフが, 0≦t≦1
において共有点をもつ.
YA
2
③より, y=2t2-t+1
y=a
①'の解は, ②と③のグ
ラフの共有点の座標
t=1 のとき y=2
t=0 のとき y=1
=2(1 − 1)²+1787
よって, 右の図より,
≦a≦2
(2)180°のとき,
sin0=k(0≦k < 1)を満た
すりの値は2個存在する.
したがって、条件を満た
すとき、③のグラフの
78
0 11
1
42
sin0=1 を満たす 0は
0=90°の1つのみ
YA
YA
y=k
-1
点 (1,2)を除いた部分と
② のグラフが異なる2点で
交わる.
-1
XC
よって, (1)の図より,
7 <as1
ocus
1
1 x
0≦t<1 において ②と
③が異なる2点で交わる
⇔ ① が 0≦t<1 に
異なる2個の解をもつ
⇔ ①が異なる4個の
解をもつ
方程式f(t)=aではのグラフの共有点をみよ
