（2）でなぜ点Mは直線②上にあるのですか？

および長 463 基本事項 る解法も考 を消去して ① Q (x2,y2) 4\x2-x1 例題 153 基本例 十点の軌跡 |双曲線x-2y2=4と直線 y=-x+k が異なる2点P, Qで交わるとき <(1) 定数kのとりうる値の範囲を求めよ。 ((2) (1)の範囲でk を動かしたとき, 線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。 指針 基本 151 152 (1) ①共有点実数解 双曲線と直線の方程式から導かれるxの2次方程式が 異なる2つの実数解をもつ条件、つまり判別式D>0 からkの値の範囲を求める。 (2)2点P,Qのx座標をx1, x2 とすると,1,2は(1)の2次方程式の実数解である。 M(x, y) とすると x= x1+x2 , y=-x+k 2 ←点Mは直線y=-x+k上。 解と係数の関係を用いて x+x2をkの式で表し, つなぎの文字を消去するこ とによりx,yの関係式を導く。 なお、(1)の結果により, xの範囲に制限がつくことに注意。 ...(+5) CHART 弦の中点の軌跡 解と係数の関係が効く x2-2y2=4 ...... ①, y=-x+k 1 x 解答 ②①に代入して整理すると ard ② とする。 x2-4kx+2k2+4=0 ③ (1) 2次方程式 ③の判別式をDとすると 467 ここで1241=(-2k)-1-(24)=2(-2) P 2 M 2 0 よって, k-2>0 から (k+√2-√2) したがって k<-√2, √2<k (2)PQのx座標を x1, X2 とすると, これは 2次方程式 ③の解であるから,解と係数の関係 ① (8+0)=(($0) の方針。 複雑なと 一関係の利 連立方程 に解くと + 0 より x+x2=4k M (x, y) とすると x= このとき x+x24k 2 y=-x+k=-2k+k=-k ② =2k = 2 に代入して Je.... ④ ...... 点は直線② 上にある。 これは=0のときも成り でありx =219 ④ ⑤から消去すると y=-- 2 PD 2 点の座標 また,(1)の結果と④ から x <-2√22√2 x * よって, 求める軌跡は k=1から [[] 2 もできる。 直線 y=-2 x2√2,2√2 <xの部分 (*) この条件を落とさない ように。 風のせ方占をもつとキ

青枠で囲んだところで、必要条件と、十分条件を考える時命題で言うところのpとqはどれとどれなのでしょうか。（pとqはp→q、q→pを考える命題のこと）

136 00000 重要 例題 81 方程式の共通解 2つの2次方程式 2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数 解をもつように,定数kの値を定め、その共通解を求めよ。 基本 77 CHART & SOLUTION 方程式の共通解 共通解をx=α として方程式に代入 2つの方程式の共通解を x=α とすると,それぞれの式に x=α を代入した2a2+ka+4=0, 2+α+k=0が成り立つ。これをαkについての連立方程式とみて解く。 「実数解」という 条件にも注意。 解答 共通解を x = α とすると 2a2+ka+4=0 …... ①, a2+α+k=0 ② ①-② ×2 から (k-2)α+4-2k=0 すなわち (k-2)a-2(k-2)=0 よって (k-2)(a-2)=0 ゆえに k=2 または α=2 [1] k=2 のとき 2つの方程式は, ともに x2+x+2= 0 その判別式をDとすると ・③ となる。 D=12-4・1・2=-7 D<0 であるから, ③は実数解をもたない。 x=α を代入した①と ②の連立方程式を解く。 ← α2 の項を消す。 共通の実数解が存在する ための必要条件であるか ら, 逆を調べ, 十分条件 であることを確かめる。 ax2+bx+c=0の判別 式は D=62-4ac 10 TS よって, k=2は適さない。 [2] α=2 のとき ②から 22+2+k=0 よって k=-6 このとき2つの方程式は 2x2-6x+4=0 ... ①', x2+x-6=0 ・②' ←2(x-1)(x-2)=0, となり, ①'の解はx=1, 2 ②' の解はx=2, -3 よって、確かにただ1つの共通の実数解 x=2をもつ。 [1], [2] から k=-6, 共通解はx=2 I (x-2)(x+3)=0 INFORMATION

220のカッコ１なんでMのY座標が、2x➕kになるんですか？

解答編 -67 線 6x+17 ys xy)は、 は 一法は, 22 線分 PQ の中点Mの座標を (x, y) とおくと 1 … ⑤ y=2x+k=k+1 6 AM したがって, 点Mの座標は (2) ⑥から k=y-1 ④に代入して 1 222 (1) 求める領域は直線 y=3x+2の上側の部 分である。 e+y... ② したがって, 求める軌跡は 放物線y=1- 1= 24x+3y 5 6 上にあるから 4x+3y =6 220 (1) y=2x+k... 1, y=3xx ② とする。 ① ②からyを消去して整理すると x2-x+k=0 ③ この2次方程式の判別式をDとすると D=(-1)2-4-1.k=14k 直線 ①と放物線②が異なる2点 P, Qで交わ るための必要十分条件は D>0 すなわち 1-4k>0 よって、定数kの値の範囲は <12/ ....... ④ 2点P,Qのx座標を α, β (α キβ) とおくと, α, βは③の異なる2つの実数解である。 解と係数の関係から +β=1 [2] y=0のとき②から x=5 x= 5, y=0を①に代入すると m=0 よって, 点 (5,0)は,m=0のときの2直線の 交点である。 [1], [2] から, 点Pは,原点を中心とし、半径が 5の円から点(-5,0) を除いた図形上にある。 逆に,この図形上の任意の点は, 条件を満たす。 したがって, 点Pの軌跡は 原点を中心とし, 半径が5の円 ただし,点(-5, 0) を除く [参考] ①から第1の直 線は定点(-50) を 通り, ② から第2の 直線は定点 (50) を 通る。 また、この2直線は 垂直であるから,点 Pは2点(-5, 0), (5,0) 直径の両端 ② y@ とする円周上にあることがわかる。 ただし, ① は直線x=-5, ②は直線 y=0を表さないから, 点(-5,0) を除く。 数学 STEP A・B、発展問題 ○ 50 第3章 図形と方程式 218 が実数全体を動くとき、 次の点(x, y) はどのような図形上にあるか。 (1) x=t+1, y= -3t+2 (2) x=2t-1,y=t-t+3 P219m が実数全体を動くとき、放物線y=x-2mx+1の頂点Pの軌跡を求めよ。 *220 直線 y=2x+k が放物線 y=3x-x と異なる2点P, Qで交わるとする。 (1) 定数の値の範囲を求めよ。 また、線分 PQ の中点Mの座標をkで表せ。 (2)の値が変化するとき、線分 PQの中点Mの軌跡を求めよ。 (92.30 よって 惷の 218 例題 22 発展問題 mが実数全体を動くとき、 次の2直線の交点Pの軌跡を求めよ。 x+my-1=0, 指針 2直線の交点の軌跡 mx-y+2m=0 →2直線の方程式からmを消去して,x,yの関係式を導く。 解答 2直線の方程式を変形して □ 2 my=1-x ・・・・・・ ① 215 y=m(x+2) ...... ② 点Pの座標を (x,y) とすると, (x, y) は ① ② を満たす。 [1] y=0 のとき 2 すなわち < 5 これと⑤ から, 点M は, 直線 x= (2) 求める領域は直線y=3x+5 およびその上側 の部分である。 すなわち, [図] の斜線部分である。ただし, 境界 線を含まない。 ①から m=l-x の部分にある。 逆に、この図形上の任意の点M (x, y) は, 条件 を満たす。 (2) (1) したがって, 求める軌跡は すなわち, 〔図] の斜線部分である。 ただし, 境界 線を含む。 0 O 5 3 直線x=1/2のy< 21/2の部分 21 2直線の方程式を変形して y=m(x+5) ..... ① -my=x-5 ② Pのを(x, y) とすると,(x,y)は①,② (3)不等式を変形するとy=1/2x-2 満たす。 x-5 y=0のとき、②から m=- y これ①に代入して y 1-5(x+5) よって、求める領域は直線 y=1/2x-2およびそ の下側の部分である。 すなわち, [図] の斜線部分である。 ただし, 境界 y これを②に代入して x²+x+y^2=0 ...... ③ ③ において y=0 とすると x=1, 2 よって, y=0 のとき, 点Pは,円 ③ から2点 (1,0), ( にある。 2 [2] y=0 のとき ①から x=1 x = 1, y=0 を②に代入すると m=0 ゆえに, 点 (1,0)は,m=0のときの? [1] [2] から、点Pは,点 (120)を中心 いた図形上にある。 逆に、 この図形上の 圏点 (1/20) を中心とし、半径 ゆえに y=1-x(x+2) y すなわち(x+12/22+y=1/1

（I）のYの値が常に正なのがD＜0のときな理由と(2)のYの値が常に負なのがD＜0、m＜0な理由を教えてください

33 [4プロセス数学Ⅰ 問題217] 次の条件を満たすように、定数の値の範囲を定めよ。 (1) 2次関数y=x2+2mx+3において, yの値が常に正である。 (2) 2次関数y=mx2+4x+m-3において,yの値が常に負である。 (1)x²+2mx+3=0の判別式をDとする。 D=4m² -12 =4(m-3) まの値が常に正なのはDKOのとき m²- 340 m = ±√3 ぼくとく厚 (2)mmx2+4xTm-3=0の判別式を1とする 12=16-4xmx(m-3) =16-4m²+12m =-4cm²-3m-4) yの値が常に負なのは 35 [ 2次 |定数 { ① mco ②

この問題で、なんで必要十分条件がD<0になるのですか?yの値を常に正にするにはD>0じゃないんですか?

396 次の条件を満たすとき,定数αの値の範囲を求めよ。 (1) ① 2次関数 y=x2+ax+2 に対して, yの値が常に正である。 *(2) 2次関数y=ax2+4x+a-3 に対して,yの値が常に負で ある。

この問題の最後の赤丸をつけているところについて質問です。なぜここの符号がマイナスになるのか分かりません💦どなたか教えて欲しいです！

Think 例題 234 放物線と接線の囲む面積(2) **** 2つの放物線 City=x-5x+7. Caiy=x+3x-1 の両方に接する 直線を e とする. (1) 直線 l の方程式を求めよ. (2) 放物線 C, C, と直線lとで囲まれた図形の面積を求めよ. (工学院大) 考え方 (1) CCに接する直線を考え,それが C, にも接することから求める。 (2) グラフをかいて求める部分を確認する. 解答 (1) C:y=x2-5x+7 に接する直線を考える . 接点のx座標を α とおくと, y'=2x-5 より,接線 の方程式は, y-(α-5a+7)=(2α-5)(x-α) y=(2α-5)x-α+7 この接線がC2:y=x+3x-1 にも接する. x2+3x-1=(2a-5)x - α+7 x2-2(α-4)x + α-8=0 ...... ① ①の判別式をDとすると,接するから, D=0 01={(α-4)}(a-8)=0 より, よって、直線lの方程式は, y=x-2 α=3 (2)2つの放物線 C1 C2 と直線lとで囲まれた図形は右 下の図の色をつけた部分である. C,C2 の交点のx座標は, x2-5x +7=x2+3x-1 より, x=1 C と l の接点のx座標は,(1)より C2 と lの接点のx座標は, x2+3x-1=x-2より x=-1 よって,求める面積は, C, の接線とCの 線が一致するとき この直線はCと の両方に接するこ を利用してもよい。 接点の座標は (a, a²-5a+7) yを消去して のx座標を求める 次方程式を作る。 接する ⇔判別式 D=0 (重解をもつ) α=3 を接線の方程 式に代入する. x=3 3 Focus S_{(x+3x-1)(x-2)}dx {(x²-5x+7)-(x-2)}dx =S (x+1)dx+S (x-3)dx - Bu++ [1-3] - 20+ (-2-15 ・(-2)= 16 3 23 23

写真の(1)の問題で､自分の解答は合っているか教えてほしいです🙇🏻‍♀️ 模範解答は場合分けをしてから普通に2次方程式を解いていますが自分は場合分けをして判別式が0以上になっているかを考えて解きました。

【5】 pを実数の定数とする. xの2次方程式 x2-(2p+|p|-|p+1|+1)x + 1/2(2p+30|p+1|-1)=0 について次の各設問に答えよ. (1)この2次方程式は実数解をもつことを示せ. (2)この2次方程式が異なる2つの実数解α, βをもち, かつ a2 + 2 ≦1となるような定数 p の値の範囲を求めよ、 x-(2p+|p|-|p +1 +1)x +1/2(2p+3|p|-|p+1|-1)=0……① (1) p < 1 のとき, 方程式 ①を解くと x-{2p-p-(-p-1)+1}x +1/2{2p-3p-(-p-1)-1} = 0 x-2(p +1)x=0 x{x-2(p+1)}=0 :.x=0,2(p+ 1) であるから, 方程式 ① は実数解をもつ. -1≦p < 0 のとき, 方程式 ① を解くと x²-{2p-p-p +1)+1}x +1/2{2p-3p-(p+1)-1} = 0 p-1のとき 2 + B2 ≦1 02 + {2(p + 1)} ≦1 {2p+1)}2-1≦0 {2(p +1) +1}{2(p+1)-1}≦0 (2p+3)(2p+1) ≦ 0 . - ≤ p < -1 である. -1 <p < 0 のとき (√P+1)²+(-√P+1) SI ps-12 であり,-1<p < 0 より ≦1 x=p+1(≧0) である. ..x = √ p+1 であるから, 方程式 ① は実数解をもつ. p≧0 のとき, 方程式を解くと x-{2p+p-p+1) +1}x +1/2{2p+3p-(p+1)-1} = 0 x2-2px+2p-1=0 0<p<1,1<pのとき (p+lp-1)2 + (p-lp-1)2≦1 4p2-4p+1≦0 (2p-1)²≤0 :. p= 2 であり,これは0p<11<p を満たす. 以上より, 求める定数 pの値の範囲は :.x=p±lp-1| -sp<-1, -1<ps - 1/1, p = 1/ であるから, 方程式 ① は実数解をもつ. 以上より、題意は示された. ☐ である. (2) 異なる2つの実数解をもつような, 定数の値の範囲 は (1) より である. p<-1, -1 < p<1,1<p

二次方程式が重解を持つように定数Mと重解を求める問題です なぜM≠０だと分かるんですか

(3) mx²-4mx+2m+4=0 この2次方程式の判別式をDをする f = (~20 (-1. on (2m+4) 1/2=4m² 20m²-4m 4 =2m²-4m 素をもつための必要十分条件は 1:0だから、 02 2m²-4m 2mm-21=0 mi=0.m.2 m

実数解を求める問題です。 下から二番目の条件(a≠15…)から答えを出す方法を教えてください よろしくお願いします🙇‍♀️

(3) ①が異なる3つの実数解をもつのは, (8) x2+2x+a=0がx=3かつ異なる2つの実数解を もつときである。 よって, aキー15 かつD>0 より a-15 % a<-15, かつ D=1²-1.a>0 4 -15<a<1=A (8) あ

高一のサクシード379(2)の問題で、2/5±√3は出てきたんですけど、そこから2/5+√3－(2/5-√3)の答えが√3に何故なるのか分からないので良かったら解説お願いします🙏🏻🥲‎✨

[ サクシード数学Ⅰ 問題379] 標を次の2次関数のグラフがx軸から切り取る線分の長さを求めよ。 (1) y=x2-2x-15 (2)/y=-x2+5x-3