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演習 例題
121 極値をとる値に関する無限級数の和
00000
| 関数f(x) =exsinx (x>0)について, f(x) が極大値をとるxの値を小さい方
から順に X1,X2,
80
また,
を求めよ。
f(x)
とすると,数列{f(x)} は等比数列であることを示せ。
n=1
基本112
のにおけ
と直線lnの交点の
を求めよ。
B
極大値をとるxの値は,次のことを利用して求めるとよい。
指針
f' (a)=0,f" (a)<0⇒f(a)は極大値(p.177 基本事項因)
つまり、f'(x)=0の解を求め, その解のうちf" (x) < 0 を満たすものを とする。
また,無限等比級数 2, ay"-1(a≠0)は|r| <1のとき収束し、和は
n=1
f(x)=-e*sinx+e*cosx=-e*(sinx−cosx)
=-√2e-*sin(x-4)
y=e-s
f”(x)=e*(sinx−cosx)—e*(cosx+sinx) 0 tin
数の値 (特に, COS m)
式を連立して求める。
を求める際は、
解答
すい。
f'(x)=0 とすると
=-2excosx
sin(x)=0
200
(*)
x>0であるから x= =+kл (k=0, 1, ....)
4
(*) sinn
以下では, n は自然数とする。
COSn=-
y=-ex
1-2
27
3π 4π
207
(*)からx=kπ
(k は整数)
4
章
G
関連発展問題
自然
k=2n-1のとき cos (+)
+1.2(√x-1)
< 0.
(+)
A
k=2(n-1)
のとき COS
4
cos(+kx)>0
0.
あるから
)+4√na
xn=
=4+2(n-1)
7±2√n+1
√n)
ゆえに,k=2(n-1) のとき極大値をとるから
このとき
ya
(2-1)1
(+x) <0-1
+kл
0=(0)3
f(x)=e-14+2(n-1)*} sin{4/+2(n-1)}=1/2ef(e-20-1
0
π
4
-10 1
x
++
-11
+2(-1)
2
よって、(f(x))は初項 inet 公比 e-2の等比数列で
e4,
n=1
f(x)は収束し,その和は
・分子に(vn+1 +
掛ける。
の交点のx座
y=f(x)の接
Σf(x)=√1-e=√2 (e-1)
練習 関数f(x)=e-xcosx (x>0) について,f(x)が極小値をとるxの値を小さい方か
@121 ら順に X1,X2,
n=
......
f(x) を求めよ。
とすると、数列{f(x)} は等比数列であることを示せ。 また,
ある。公比 e-2" は 0<e-2" <1であるから,無限等比級数
◄an-ar"-1
⇒ {an}は初項 α, 公
比の等比数列。
1-e-2π
