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3a=0
②が
が虚数解をもっ
基本 41
重要例 43
虚数を係数とする 2次方程式
00000
xの方程式 (1+i)x2+(k+i)x+3+3ki = 0 が実数解をもつように, 実数k
の値を定めよ。 また、 その実数解を求めよ。
CHART & SOLUTION
2次方程式の解の判別
判別式は係数が実数のときに限る
D≧0 から求めようとするのは完全な誤り (下の INFORMATION 参照)。
実数解をα とすると (1 + i) o' + (k+i)a+3+3ki = 0
この左辺を a+bi (a, b は実数) の形に変形すれば、 複素数の相等により
0
a=0,b=0 ← α, kの連立方程式が得られる。
基本 38
2章
9
解答
方程式の実数解をα とすると
整理して
(1+i)a2+(k+i)a+3+3ki=0
(Q2+ka+3)+(α2+α+3k)i=0
x=α を代入する。
←a+bi=0 の形に整理。
α, kは実数であるから, a+ka+3, 2 + α+3k も実数。この断り書きは重要。
①よって
複素数の相等。
a2+ka+3=0
①
どうし
Q2+α+3k=0 ...... ②
から
(k-1)α-3(k-1)=0
(
のか
①
分かりません
(k-1)(a-3)=0
k=1 または α=3
[1] k=1のとき
① ② はともに α2+α+3=0 となる。
これを満たす実数αは存在しないから、不適。
[2] α=3 のとき
① ② はともに 12+3k=0 となる。
ゆえに k=-4
[[1], [2] から, 求めるkの値は
実数解は
k=-4
x=3
INFORMATION
← α を消去。
infk を消去すると
03-2α²-9=0 が得られ,
因数定理 (p.87 基本事項 21 )
を利用すれば解くことがで
きる。
6=-47
←D=12-4:1.3=-110
a²+9+3k38:
②:32+3+3k=0~
①:32+3k+3=0
a=3~4とでたけど
2次方程式の解と判別式
管に-4はないのか
→万かりみん
2次方程式 ax2+bx+c=0 の解を判別式 D=62-4ac の符号によって判別できる
のは a, b, c が実数のときに限る。
例えば, a=i, b=1,c=0 のとき 62-4ac=1>0 であるが, 方程式 ix²+x=0 の解
はx=0, i であり,異なる2つの実数解をもたない (p.85 STEP UP 参照)。
PRACTICE 430
xの方程式 (1+i)x2+(k-i)x-(k-1+2=0
を定め
