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重要 例題 127/ 2次方程式の解と数の大小 (3)
00000
方程式x2+(2-a)x+4-2a=0が-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解
をもつような定数aの値の範囲を求めよ。
基本125,126
指針 [A] -1<x<1の範囲に, 2つの解をもつ (重解を含む)
[B] -1<x<1の範囲に, ただ1つの解をもつ
ような場合が考えられる。 [B] の場合は,解答の [2]~[4] のように分けて考える。
例題125, 126 同様, D, 軸, f() が注目点である。
******
解答
判別式をDとし, f(x)=x2+(2-a)x+4-2a とする。
f(-1)=-a+3, f(1)=-3a+7
[1] 2つの解がともに -1<x<1の範囲にあるための条件は
D=(2-a)²-4-1-(4-2a) ≥0.
①
2-a
220 について-1<2<
2
軸x=-
lf(-1)=-a+3 > 0
③ f(1)=-3a+7> 0
①から
よって (a-2)(a+6)≥0
a²+4a-1220
ゆえにa≦-6, 2≦a... ⑤ ②~④を解くと, 解は順に -1
0<a<4 ...... ⑥, a <3
©, a< ² 3
******
⑤~⑧の共通範囲は2≦a</1/27
① [2] 解の1つが-1<x<1, 他の解がx<-1または1<xにあ
るための条件はf(-1)f(1)<0 : (a+3) (-3a+7) < 0
よって (a-3) (3a-7) <0 ゆえに 17/0<a<3
1 [3] 解の1つがx=-1のときは f(-1)=0
よって
-a+3=0
ゆえに
a=3
このとき, 方程式は x2-x-2=0 ∴. (x+1)(x-2)=0
よって,他の解はx=2となり、 条件を満たさない。
① [4] 解の1つがx=1のときは /S(1)=0
...........
よって
|-3a+7=0
このとき, 方程式は 3x²-x-2=0
よって,他の解はx=- 12/3 となり、条件を満たす 。
[1]~[4] から2 2≦a <3
=/333
④ [2]
ゆえに a=
| [1]
.'. (x-1)(3x+2)=0
+
2)
JE
1 x
軸
-6
または
D-0/
[3]=3 [4] o=33
V N
6
D>0
+
[4]
[1][2]-
-5-
0 2734
3
a
3 a
[1], [2] で求めたαの値の範
囲と, [4] で求めたαの値を
合わせたものが答え。
197
3章
13
2次不等式
