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8 複素数 zのえがく図形
<大複素数平面上で, 次の式を満たす複素数zのえがく図形を求めよ。
(1) |z-3|=|z-ル
(2) 2z+3(z-z)=0
〈福岡大)
〈自治医大)
1軌跡の問題で, 求める軌跡
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をP(x, y)とおくのに相当
(1) 2=r+yi (x, yは実数)とおくと
|z+yi-3|=lz+yi-il
|(z-3)+yil=|z+(y-1)il
V(z-3)+y°=+(y-1)
両辺2乗して、整理すると
解
する。
S-
一複素数の絶対値
( ) |a+bi|=\@+が
3.r-y-4=0
よって,直線 3.c-y-4=0
3c-リ-4=0
別解 |2-3|=|z-il を満たす。は点3,iから
等しい距離にある点だから, 2点3,えを
結んだ線分の垂直2等分線である。
(2) 2=£+yi (x, yは実数)とおくと
これを与式に代入して
(エ+yi)(x-yi)+3i(z+yi-r+yi)=0
. 2+(y-3)=9
lz-il
niat+
z-3|
nies
ス=エ-yi
200
+(y-3)?=9
+y?-6y=0
よって,点3iを中心とする半径3の円
3
(3)2-3|
別解
与式を(z-3i)(+3i)=9 と変形すると
ス-3i=z+3i だから
(2-3i)(z+3i)=(z-3i)(z-3i)=lz-3iP=9
よって, |z-3i|=3 より 点3iを中心とする半径3の円
考えて
ハ
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