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Mathematics Senior High

一対一対応数II微分 赤線部になる理由がわかりません💦

7/27 9 接線の本数 関数 y=x-3.xのグラフについて, (1) グラフ上の点(p, が-3p)における接線の方程式を求めよ。 に (2) グラフへの接線がちょうど2つ存在するような点を (a, b) とする. このとき, (a, b)が ( (中央大商/一部変更) 存在する範囲を図示せよ. 接線の方程式 定点 (a, b) から, 曲線y=f(x) に引ける接線 定点を通る接線を求める を求めるには、曲線 y=f(x)の全ての接線を考え,その中で (a, b) を通るも のを求めるとよい。具体的には、曲線y=f(x) 上の点(t, f (t)) における接 線の方程式y=f(t) (xt)+f(t)に(x, y) = (a,b) を代入して、その式 を満たすようなt を求める. これが,接点のx座標である。 実際に代入すると, b=f'(t) (a-t) +f (t)① この式はについての方程式で、 例えば実数解が2個あれば,それらをx座標とする点において, 点(a, b) を通る接線が2本引ける f (x)が3次関数の場合, ①の異なる実数解の個数と, 定点 (a, b)から曲線y=f(x) に引ける接線の本数は等しい (解答の後の注参照). 曲線y=f(x) 上の点 (t, f (t)) における接線の方程式は,傾きf(t)で, (t, f(t)) を通る直線の方程式なので,y=f(t) (xt)+f(t) y=f(x) (a, b) (エ)\ 解答 (1) C:y=3xについて, y'=3ー3であるから,エ=pにおける接線の 方程式は y=(32-3)(x-p)+p-3p (2) (1) の接線が (a, b) を通るとき, y=(3p2-3)x2p3 b=(3p2-3)a-2p³ ∴.2が-3ap2+3a+b= 0 ・① 点 (a, b)を通り Cへの接線がちょうど2つ存在するための条件は、かの3次方 程式①の解がα, α, β (α,Bは実数で, αキβ) となること・・・・・・ ② である (注) (2) f(p)=23-3ap2+3a+b (①の左辺) とおくと, f'(p)=62-6ap=6p(p-a) であるから,②となるのは、 右図より, a = 0 かつ 「f(0)=0またはf (α)=0」 のとき. q=f(p)| B a p YA a0 かつ「3a+b=0または-+3a+b=0」 \ よって, 点 (a, b) が存在する範囲は a B g y=f'(p)(x-p) + f (p) 3次関数の場合, 接線と接点が1 対1に対応する y=x3-3x3(土)ーは 01 一般に3次関数y=f(x)のグラ フに対して引くことができる接 線の本数は,領域ごとに下図のよ +1913.\s (1071 x=0 かつ 「y=-3x または y=x3-3r」 10 x=0におけるCの接線がy=-3であることに注意し て,これらを図示すると, 右図のようになる (ただし, 白丸は除く). y=-3x 2本) y=f(x)/ 注 3次関数の場合, 接線の本数は①の解の個数に等し いが, 4次関数では, 右図のように, 接線1本に対して接 点が2個ある場合があるので, 3本 1本 we 2本/ 1本 (接線の本数)=(解の個数) は一般には成り立たない I) 1本 3本 2本 9 演習題(解答は p.128 ) る.このとき (α,β) の範囲を求め, 図示せよ ただし, α > 0 とする. 曲線y=x6z2上の4つの異なる点における接線が,いずれも点 (α,B) を通るとす (t, f(t)) での接線が (千葉大・理一後) (α, β) を通るとする. 122

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Mathematics Senior High

136(2) 分散を求めることについて なぜ、私が添付した2枚目の画像のように変形できないのでしょうか!!教えてください!

代表値の変化 (データの追加) 10 人の生徒が 10 点満点のテストを受けた。 得点の低い順に並べたデータを 1, 2,..., 10 とする. 最低点の生徒は合格点に達しなかったので,翌日追試を受けて 合格点をとった.追試前の平均値,分散をそれぞれ,S2,追試 後の平均値,分散をそれぞれ,y,s, とする. 次の問いに答えよ。 との大小を判断せよ. 精講 x=7, s2=3.4 とする. 追試を受けた生徒の得点が3点から5点になったときと Sy2 の値を求めよ. うまく式を変形する データに変更があると, 代表値など (平均値,分散,四分位数など) も変化するのが普通ですが, 変化の様子を(1)のように,大きくなる。 小さくなる,という雰囲気に近い観点で判断する場合と,(2)のよう に,値の変化で判断する場合の2つがあります. どちらも大切な判断法です。 (1)では,箱ひげ図や, 定義の式のイメージが有効で (2)では,定義に従ってキチンと計算することが必要です. 解答 (1) 最低点だった生徒の得点が増えている ので, 10 人分の得点の総和は増える. よって, 平均点は追試後の方が高くなる. 定義の式で分母が不変だから 分子の増減を考えている. 注 各四分位数や分散の変化は, これだけの情報では判断できません。 分散の (2) 追試を受けた生徒の得点がxi' のとき, my'=m+2 10 17₁ ² + x² + ··· + x10 (+4x+4)-(y)² = 1—1 (x²² + x²² + ··· + x 10² ) − ( x)²+(x)²−(y)²+- 2(x+1) 5 =s²+(x+y)(xy)+(3+1) id=sz-14.2×0.2+1.6=sz-2.84+1.6=3.4-1.24=2.16 データが変化したときの代表値などの変化は, ポイント ・性質から判断する 値を求めて判断する の2つの場合があり,前者は箱ひげ図や定義の式のイ メージから判断する テストの最低点を1, 各四分位数を Q1 Q2 Q3 とし, 追試後の値 をそれぞれxi', Q'', Qz', Q3' とすると, 11月 12, 11 π3, πa, I5, 6, 7, 8, 9, 10 のとき 演習問題 136 ② Q1Q1, Q2′'=Q2,Q3'=Q3 I2, I'3, I X4, X5, 6, 7, 8, 9, 10 のとき Qi'=xi', Q2'=Qz, Q3'=Q3 3 X2, X3, X4, X5, X6, X7, x8, x9, X1 Q''=xa, Q2'= =x6+x7, Q3' = X9 2 10のとき x'+x2+... +10 ++..+10+2 y= 10 10x+0.2=7.2 Sy= (x1 112+122+..+.π102)(y)2 134 10 10 {(x1+2)²+x₂ ² + ··· +x10²)-(y)²,500 9人の生徒が10点満点のテストを受けた. このテストの得点を1, 2,..., 9 とする. 翌日, 1人欠席の生徒がテストを受け,得点は9点であった. 最初の9人分の平均値,分散をそれぞれ, 22 とすると 6,224 であった. 10人分の平均値と分散を求めよ.

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