題
262 連続する整数の積
nを整数とするとき, 次の問いに答えよ.
(1) 連続する3つの整数の積が6の倍数であることを示せ.
(2)2m²+3m²+nが6の倍数であることを示せ.
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考え方 (1) 連続する3つの整数は, 「n, n+1,n+2」 や 「n-1,n,n+1』 などの表し方が
(2)
ある.
6の倍数は,6×(整数)で表せるが,違う見方をすると,
6の倍数は,2の倍数である,かつ,3の倍数である.
このことから, 3つの連続する整数が,2の倍数であることと、3の倍数であること
を示す.
2+3m²+nを連続する3つの整数の積で表せないか考える。
(1) 3つの連続する整数の積をn (n+1) (n+2), kを整数とすると,
(i) n=2k のとき,
n(n+1)(n+2)=2k(2k+1)(2k+2
=2xk(2k+1)(2k+2)
2k: 偶数
2k+1 : 奇数
k(2k+1)(2k+2) は整数より, n(n+1)(n+2)は2の倍数
n=2k+1 のとき,
n(n+1)(n+2)=(2k+1)(2k+2)(2k+3)
=2×(2k+1)(k+1)(2k+3)
(2k+1)(k+1)(2k+3) は整数より, n(n+1)(n+2) は2の倍数
(ii) n=3k のとき,
n(n+1)(n+2)=3k(3k+1)(3k+2)
k(3k+1)(3k+2) は整数より, n(n+1) (n+2) は3の倍数
n=3k+1 のとき,
n(n+1)(n+2)=(3k+1)(3k+2)(3k+3)=3×(3k+1)(3k+2)(k+1)
(3k+1)(3k+2)(+1) は整数より, n(n+1)(n+2)は3の倍数
n=3k+2 のとき,
n(n+1)(n+2)=(3k+2)(3k+3)(3k+4)=3×(3k+2)(k+1)(3k+4)
(3k+2)(k+1)(3k+4) は整数より, n(n+1) (n+2) は3の倍数
(i), (ii)より,n(n+1) (n+2) は2の倍数であり3の倍数であるから, 6の倍
数である.
よって,3つの連続する整数の積は,6の倍数である。
次数の低い文字につい
