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-5a+b-55=0
よって
a=-6,b=25
このとき,割り算の商は
x2+4x+5
x2+4x+5=0 を解くと x=-2±i
ゆえに、他の解は
x=2+i, -2±i
練習
③ 67
とはい
ても、
れる。
x-4x3
+ 5x2
4x3+(a-5)x2
4x3
-16x2
(a+11)x2
+20x
+b
2章
-20x+b
(a+11)x2-4(a+11)x+5(a+11)
(4a+24)x-5a+b-55
練習
[複素数と方程式]
α を実数の定数とする。 3次方程式 x 3+ (a+1)x2-a=0 ...... ①について
(1) ① が2重解をもつように, αの値を定めよ。
(2) ①が異なる3つの実数解をもつように, αの値の範囲を定めよ。
①の左辺をα について整理すると
ゆえに
よって
(x-1)a+x+x2=0
(x+1)(x-1)a+x2(x+1)=0
(x+1){x2+(x-1)a}=0
(x+1)(x2+ax-a)=0
←次数が最低のαにつ
いて整理する。 また,
P(x)=x3+(a+1)x²-a
とするとP(-1) = 0
よって,P(x) は x+1
を因数にもつ。
したがって x+1=0 または x2+ax-a=0
(1) ①が2重解をもつのは、次の [1] または [2] の場合である。
[1] x2+ax-a=0
②がxキー1の重解をもつ。
これを利用して因数分解
してもよい。
②の判別式をDとすると
α
D=0 かつ
キー1
2.1
D=α2-4・1・(-α)=a(a+4)
(*) -
D=0 とすると
これは α≠2 を満たす。
a=0, -4
◎ ←a=0-4を方程式に
[2] x2+ax-a=0の解の1つが−1で,他の解が-1でない。 代入して確かめてもよい。
-1が解であるための条件は
(-1)+α(-1)-a=0
これを解いて a=
2
このとき,①は
したがって
+1)(x+1/2x-1/2)=0
←他の解をβとすると
(x+1)^(2x-1)= 0
解と係数の関係から
-β=-a
ゆえに, x=-1は2重解である。
以上から a=0, -4,
2
(2) ① が異なる3つの実数解をもつのは, x2+ax-a=0... ②
が-1とは異なる2つの実数解をもつときである。
②の判別式をDとすると, D> 0 から
a(a+4)>0
β≠-1 から αキー1
と考えてもよい。
←Dは (*)で求めた。
よって
a<-4, 0<a·
******
また,(-1)'+α(-1)-α0から
a=
2
←②がx=-1を解にも
たない条件。
