42 2つの円の交点を通る図形
2つの円C: (x-1)2+(y-2)^=4,C2: (x-4)2+(y-62=(rは正
の定数) がある.
(1) 2つの円 C1, C2 が異なる2点で交わるようなの値の範囲を求めよ
(2)=6のとき,C1,C2 の2つの交点および原点を通る円の方程式を求
めよ.
(3) r=6のとき,C1, C2 の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ.
(愛知)
解答
(1) は,中心 A1, 2) 半径2の円, C2 は,中心B (4,6) で半径1の円である.
2つの円 C1, C2 の中心間距離は,
SAB
AB=√(4-1)2+ (6−2)²=5
である. よって, C1, C2 が異なる2点で交わる条件は,
|r-2|<5<r+2
であり, 整理すると,
-3<r<7
5<r+2
3<r
したがって 求める の値の範囲は, 3<r<7
-5<r-2<5
..
(2)r=6のとき, C1, C2 の式を整理すると,
(x2+y2-2x-4y+1)+k(x2+y2-8x-12y+16)=0
とすると、③は ① ② の交点を通る図形
を表す. ③が原点を通るときのkは,
1
1+16k=0 より,k=--
16
142
C1 x2+y2-2x-4y+1=0 ・・・ ①, C2x2+y2-8x-12y+16=0.②
kを定数として,
よって、求める円は③で k=-
1
16
(x2+y²-2x-4y+1)-(x2+y²-8x-12y+16)=0
16 (x2+y2-2x-4y+1)-(x2+y2-8x-12y+16)=0
として
C2
(3)
求める図形 (CとCの交点を通る図形)
を定数kを用いて, このような形に設
定して考えるところがポイントである.
このように設定して, 条件を満たすよう
なの値を求めればよい
8
15x2+15y2-24x-52y=0 :. x² + y² - / x
...
52
15y=0
(3) 求める直線は,①,②の交点を通る直線であるから,③で k=-1として
(x2+y2-2x-4y+1)-(x2+y2-8x-12y+16)=0
6x+8y-15=0
