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109 面積(VI)
放物線 y=az-12a+2(0<a</2/2) ••••••① を考える.
(1) 放物線 ①がαの値にかかわらず通る定点を求めよ.
(2) 放物線①と円 2+y2=16② の交点のy座標を求めよ.
(3)a= 1/12 のとき,放物線 ①と円②で囲まれる部分のうち,放物
線の上側にある部分の面積Sを求めよ.
|精講
(1) 定数αを含んだ方程式の表す曲線が, αの値にかかわらず通る
定点を求めるときは,式をαについて整理して, aについての恒
等式と考えます (37)
(2)2つの曲線の交点ですから連立方程式の解を求めますが, yを消去すると
の4次方程式になるので, x座標が必要でも、 まずxを消去しての2次
方程式にして解きます.
(3) 面積を求めるとき, 境界線に円弧が含まれていると, 扇形の面積を求める
ことになるので, 中心角を求めなければなりません. だから, 中心〇と接点
を結んだ線を引く必要があります. もちろん、 境界線に放物線が含まれるの
で,定積分も必要になります.
y=α(16-y2)-12a+2
∴.ay²+y-2(2a+1)=0
.. (y-2) (ay+2a+1)=0
.. y=2, −2−1
ここで,2</12より,-2-12 <-4となり,x+y=16 上の点
a
y=-2-1/2 は不適よって,y=2
a
y=1/4x²-1
(3)a=1/12 のとき,①は y=-
また, (1) より ①,②の交点は
A(2√3, 2), B(-2√3, 2)
∠AOB=120° だから
| S=2√ √³ {2− ( — — x²−1)}dx
1120
P-1214-4sin120)
ー・π・42-
+360°
12√3 16
+6x +- -4√√3
3
16
=24/8 +12/3 +1-4/3
6
-4√3+10
16
π
は-4≦y≦4 をみたす
4
2
B
KA
4
-1
解 答
(1) y=ax²-12α+2 より
a(x²-12)-(y-2)=0
<αについて整理
これが任意のαについて成りたつので
[x2-12=0
..
x=±2√3,y=2
y-2=0
(2)
よって、 ① がα の値にかかわらず通る定点は
(±2√32)
y=ax²-12a+2 …………①
x2+y2=16
②より, x=16-y' だから, ① に代入して
ポイント境界に円弧を含む図形の面積は,中心と結んで扇形の
面積を考えるので,中心角が必要
演習問題 109
2次関数 f(x)=x+ax + b が条件 f(1) = 1, f'(1) = 0 をみた
すとする. また, 方程式 -2x+y2-2y=0 が表す円をCとする.
(1) α, bの値を求めよ.
(2) y=f(x) のグラフと曲線Cで囲まれる部分の面積のうち, 放
物線の下側にある部分の面積Sを求めよ.
