（1）と（2）は先に命題の真偽を求めてるのに対して なぜ（３）は先に否定の真偽から求めてるのでしょうか？

(1)すべての三角形の内角の和は 180°である (2) ある整数の組(a, b) があって, α'+°=89 となる 「すべて」と「ある」の否定 解答(1) 否定:「ある三角形の内角の和は 180°でない」 269 例題 157 *の命題の否定を述べて,もとの命題とその否定の真偽を調べよ。 すべての三角形の内角の和は180° である ある整数の組 (a, b) があって, α'+8=89 となる すべての2つの無理数について,その積は無理数である Check 考え方」 「すべて」と「ある」を含む命題の否定では,「すべて」と「ある」を入れ換えて,その 結論を否定すればよい。 命題とその否定は,一方が真ならば他方は偽である。 条S すべての三角形の内角の和は180°であるから,も との命題は真である。 もとの命題が真なので,否定は偽である。 (2) 否定:「すべての整数の組 (a, b) について, a'+°+89 である」 sod. a=5, b=8 のとき α°+6°=89 となるから,もと の命題は真である。 もとの命題が真なので,否定は偽である。 (3) 否定:「ある2つの無理数について,その積は有理 そのため、 2つの無理数をV2,V8 とすると,その積は V2×8 =4 となり,有理数となるので,否定は真 である。 否定が真なので,もとの命題は偽である。 第4章 a=5, b=8 が反例と なる。 数である」 無理数の否定は有理数 である。 V2×/2 =2 なども 考えられる。 2つの無理数(2, V8 が反例となる。 Focus 「すべてのxについてかである」の否定は, 「あるxについてかとなる」 「あるrについてかである」の否定は, 「すべてのxについてかとなる」 命題について,真であればその否定は偽 偽であればその否定は真 すべて 01ある。

見えにくいですがすいません。 meditation is useful for maintaining〜 の文で、どうしてforのあとが全部-ingになっているのか教えて欲しいです。

that節以下 「集中を保つのに誤想は役立つ」 は、 meditation is useful for maintaining [keeping] your concentration/ for staying focused とします (yourは「総 称」を表しています)。 stay focused は stay 形容詞「形容詞のままだ」の形で、 「集中させられたままでいる」→「集中力を保つ」という、 よく使う表現です。

赤い矢印の所なんですけど、t':s'じゃなくs':t'じゃダメですか？ 教えてくれると有難いです🙇‍♂️🙇‍♂️

642 第9章 平面上のベクトル Check 例題 366 条件を満たす点の動く範囲(1) ………ャャーーー 643 S, 3 ベクトルと図形 件を満たすとき,点Pの動く範囲を求めよ。 (1) s+t=1, s20, t20 (3) s+tS1, s20, t20 (2) 3s+t=2 (3) s+t=k とおくと, k年0 のとき, +=1 2 したがって、 OP=sOA+ 1OB-kOA+kOB 直交座標と比較して みよう。 x+yS1, |x20, y20 考え方 (1) s=1-t としてsを消去した式で考える、 (2) 条件式をS'+t=1 の形に変形し、 (1)と同様に考える。 ふに範囲がないことに注意する. ここで, s'=, ビーとすると, ②より, ダ+ビー1 また,s20, t0より, s'20, じ20 直線OA, OB 上にそれぞれ, OD=kOA, OEーKOB となる点D, Eをとると、 OP=s'OD+tOE (s'+ビ=1) 第9章 OF-40バ+OB (20, 20) モ s20, t20 より, B k20 は、線分 DE を表す。 よって、0SkA1より, 点P は、右の図の△0ABの周上お よび内部を動く. よって、たキ0 のとき。 (1) s+t=1, s20. t20 より,. S=1-t, 0St<1 したがって、 OF=sOA+tOB =(1-)0A+tOB (0<ts1)° よって,点Pは, 線分 AB上を動く. B E 解答 直交岸様とは。 みよう。 |xty=1, x20, y2 20, 20 A k=0 のとき、,点0 0 D S =1 ……3 3 (4) 3s-2t=6より, 2 直交座標と比較して 0 A みよう。 3xー2y=6, x20, y20 よって, OF=sOA+10B=$-20A-(-30B) ここで, s'= ビ= とすると, ③より, 0 s-t=1 であり, 0<t<s' となる。 0 また,直線 OA, OB 上にそれぞれ。 OA'=20A, OB=-30B となる点A', B'をとると、 OF=s'OA-t'OB 0 /2 「TA ZA (2) 3s+t=2 より, +3=1 …① く直交座標と比較 の これより, OF=sOA+tOB みよう。 |3x+y=2 S-ビ=1>0 かつ 20 より、 0S<s s'OA'-r'OB ーゼ+s' したがって、点Pは,線分 A'B'を七: s' に外分す る点であり,0いせ<s' より,その位置はB'と反対側 にある。 よって,点Pは,点A'を端点とし、点B' と逆方向に 伸びた半直線上を動く。 3 t ここで,S'=s, ビ=;とすると, のより, s'+t=1 また,直線 OA, OB上にそれぞれ, 2 -2-1、 A' ピ=0 のとき s'=1 より、OF=OA よって、端点A'を 0 0 A OA'=20A, OB-20E となる点A, B'をとると, OF=sOA'+rOB' (s'+ゼ=1) よって,点Pは, 直線 A'B'上を動く。 含む。 Focus O OP=( ○+A=1 を作れ S, せに制限がも ため線分ではない 急で 0 (0 線になる。 練習 例題366 で, s,otが次の条件を満たすとき, 点Pの動く範囲を求めよ。 366 1 (2) s+t=;, s20, t20 (1) 0Ss<1, 0<t<1 |2 (4) s-3t=2, s20, t20 →p.649[0 (3) 2s+3t=2 AOAB,=sOA+tOB (s, tは実数)する、.

どうしてxは実数だと言いきれるのですか？ ｢例題100と同様…｣と書いてありますが、例題100にはきちんと｢xを実数として…｣と指定がありました。指定がなくても暗黙の了解のようなものがあるんでしょうか…？？それとも問題側のミスなのでしょうか？ 教えてください！

考え方 与えられた式を「=k」とおき,式を整理する。 175 4 2次不等式とその応用 値と, その 判別式による最大 最小2) 例題 101 こにする、 x-1 の最大値,最小値と,そのときのxの値を求めよ。 +3 ま「=k」とおく。 例題100 と同様,xが実数である冬件から,判別式 D20 を利用して、 第2章 のとる値の範囲を考える。 お式を整理した後,(i) k=0, (i) kキ0 で場合分けする。 (整理した式は 2次方程式とは限らない。) x-1. 30 =k とおく. +3 x+3キ0 より,両辺にx°+3を掛けて、 +(1--xー x-1=k(x°+3) kx?-x+3k+1=0 ………① (i) R=0 のとき ーx+1=0 より, まずは「=k」とおく。 「解答 なり,①が もつkの値 求める。 5 のの式は2次方程式 +- とは限らない。 「+(I+ェー)S- x=1 (i) Rキ0 のとき xは実数より,2次方程式①は実数解をもつ, よって,2次方程式①の判別式をDとすると,D20 D=(-1)?-4k(3k+1) =-12k-4k+1 したがって, D20 となり, ①が 実数解をもつkの値 の範囲を求める。 より, -12k°-4k+120 12k°+4k-1ハ0 (2k+1)(6k-1)ハ0 値を求 き、 1 より,-kS(&+0) 00 は重 6 kの値の範囲より, 最大値,最小値を求 したがって,(i), (ii)より, の evo [x)1 k=- 6 1 -=3 2ん める。 のとき,①より, kミ、11 2'6 O のとき、 x1 R=- のとき,①より, 1 x= =-1 2k S >D=0 より, ①は重 解をもつ。 +8+ー= ax?+ bx+c=0の 2 よって, 最大値 (x=3 のとき) b 1 (x=-1 のとき) 2 重解は、x= 2a Focus (与えられた式)=k とおき, xが実数であることから, 判別式D20を利用するフ そ 調の の最大値,最小値と,そのときのxの値を求めよ。 練習 2(x-1) 101 x-2x+2

この問題の答えは導く出すことが出来たのですが、 黒で下線部を引いている解答の最初の 「全ての自然数nに対して、an(エーエヌ)は0より大きい」ということを示す意味を教えてください。 また、この論述がなければ、減点されますか？

a=2, an+1=4arで定義される数列 {an} の一般項 an を求めよ。 第8。 考え方 漸化式が an+i や aなどの累乗の場合や, anに がついている場合, an+1Qn のよ うな積の場合は、両辺の対数をとるとうまくいくことが多い。 ここでは, arの係数 4(3D2") に着目して,底が2である対数を両辺にとると, log2an+1=loga(4a,)=log24+1og2an°より, 21og.an+1=2+31og2am ここで, logaan= bn とおくと, 26n+1=36,+2 となり,例題291の形の漸化式となる。 解答 a=2>0, an+i°=4a,° より,すべての自然数nに対して, an>0 an+i?=4a,について, 底2で両辺の対数をとると, log2an+1°=log24a, 21og2an+1=log24+31og2Qn より, 21og2an+1=31og2Qn+2 log2an= bn とおくと, 下の注》参照 26n+1=36,+2 したがって, bn+1=;6n+1 より,これを変形すると, 3 bn+1+2=;(bn+2) …① 特性方程式 2 ここで、 3 b+2=log2a」+2=log22+2=3 のと +2=3 より,数列 (bn+2}は, 初項3, 公比 2=+1 を解くと, の Q=-2 等比数列だから,一般項は, 32-1 bn+2=3(2) すなわち, 3" bn= 27-1 3"-27 2= 27-1 3"-2" 27-1 37-27 よって, bn=log2an= より、 an=227-1 Focus 漸化式 an+1°=かa" は両辺の対数をとる 注)「a=2, an+i°=4a,° のとき, すべての自然数について an>0」について, a2=4a,°=4·2°=32 より, az=±4/2 仮に a2=-4/2とすると, af=4a"<0 となり,矛盾する。 よって, az>0 で, 同様にすると, すべての自然数nに対して, an>0がいえる。 1 (1) a=1, an+1= -a で定義される数列 {an} の一般項 an を求めよ. V2

だいぶ端折っていますがかなりぐちゃぐちゃになってしまいました。 どこからだめですか？

考え方例題 254 のように特殊解を求めたいが, 係数が大きいため実際に値を代入して求める 方程式の整数解3) 例 題 255 また。 ① 不定方程式 57x+13y=1 の整数解を求めよ。 (不ポ一 のは困難である。そこで,ユークリッドの互除法を用いて特殊解を求める。 おHlo 解答 方程式 57x+13y=1 ユークリッドの互除法を用いる. ………0の係数 57 と 13について 57=13×4+5 より, 13=5×2+3 より,13-5×2=3 5=3×1+2 より、5-3×1=2 3=2×1+1 より, 57-13×4=5 -③ veta+xS にさ宝不太一 ④ つse 志 3-2×1=1 6に④を代入して, この方 3-(5-3×1)×1=1 していの して特殊3×2-5×1=1ができる。 これに3を代入して, (13-5×2)×2-5×1=1 ax+by ( sa(er (2 0 8E 1 er この方。 13×2-5×5=1 +た, これに②を代入して, をを低した 13×2-(57-13×4)×5=1 。d のちの。 x=-5, y=22 が (証明したがって, 0-6より, 57(x+5)+13(yー22)=0 57(x+5)=13(22-y) o…の 57 と 13は互いに素であるから, x+5は13の倍数となる したがって,kを整数として,一o (例) 52.x+5=13k, すなわち, これをのに代入すると, 57k=22-y より, よって,求める一般解は, の x=13k-5, y=-57k+22 (kは整数) 57×(-5)+13×22=1 6 のの解の1つ E8+8- x=13k-5 57×13k=13(22-y) y=-57k+22 らかるぶ Focus 1482 与えられた方程式の係数が大きい場合は, 係数について こ方ユークリッドの互除法を利用して考える 0×効と るこ

[bring a camera into focus]（カメラの焦点を合わせる）で、なぜbringとあるのにこのような意味になるんですか？

4番がどっちか分かりません！ 解説お願いします🙇‍♀️

TiB Wito want t0, come will be invited. Always focus on what you do.( That/One) is the key to success. 5. Remember ( this/it ): I will always stand by you. 6. These flowers look more beautiful than ( those/that ) in the park.ml

絶対値やルートがついてるときは両辺が正のときのみ両辺二乗していいものだと思っていたのですか、③の右辺|a|-1は正だと言いきれないから、二乗しちゃだめなんじゃないかなと思ってしまいました。 なぜ二乗してよいのでしょうか？？

解答 円のは, (x-a)?+(y-3a)。%3D10(α°-4a+5)より, 中心(a, 3a),半径 V10(a°-4a+5) の円であり, 円 のは中心(0, 0),半径、10 の円であるから, 2円の中」 2円 位置関係 Che 例題 100 点 x+y-10=0 Y2, 2つの円の中心間の距離をdとすると, 2円の位置関係は, 2つの円の半径をn, ·2② え方 離れている (i) 外接する ) 2点で交わる (iv) 内接する (v) 一方が他方 の内部にある の る接線 tP- -rAr2 d=n+re Inーral<d<n+r2 d=\ハ-ral d>n+ra d<\r-ral 接する→(i)外接 (iv)内接 第3章 心間の距離は、 (ア)外接する場合 Va+(3a)ー、10α=\10|a| しSO中Q.3a)④中以010) =\a V10(a°-4a+5) +\10=10|a| Va-4a+5=la|-1 両辺を2乗して, α'-4a+5=α'-2|la|+1 より,移項して, 左辺を、/ la|=2a-2 a20 のとき,a=2a-2 より, a=2 は3を満たす。 外接する 一→ ハtra=d 両辺をV10 で割る.さらに, -1 の項だけにする。 a=2 a (a20) lal= -a (a<0) 両辺を2乗したので, ③を a<0のとき,一a=2a-2より, a=; となり 満たすか確認が必要 Qに対して,a=>0 M w 不適 <(イ)、内接する場合 w 1V10(a-4a+5) -V10|=V10|a| V10(a-4a+5) -/10=D±/10a Va-4a+5=1土a 両辺を2乗して, 内接する一nーral=d 次のように考えてもよい。 2円が接することから, ①, 2は1組の実数解をもつ a'-4a+5=1±2a+α° ..2② (x°+y°=10 lax+3ay-20a+20=0…6 (0, ②より x?, y°を消去) が1組の実数解をもつ →6と原点の距離が、10 2 したがって, a=,2 3' ミり 3 は④を満たし, a=2 は④を満たさない。 2_3時 a=2, よって,(ア), (イ)より, 求めるaの値は, Focus 2円の位置関係は, 中心間の距離と半径を考えよ m (yーのナリ=1 が接するaの値を求めよ。 2つの円 x°+y°=1 と (x-a)*+ 100 練習 a+1 2 p.189|18)| 19 (芝浦工業大·改)

赤い部分が分かりません、、、 解説お願いしますm(_ _)m

例題 119 領域と最大·最小(1) x, yが4つの不等式 x20, y0, 2x+y<6, x+2y<4 を満たすとき, x+yのとる値の最大値,最小値を求めよ。 方まず,与えられた4つの不等式を満たす領域を求める。 次に,与えられた1次式を々とおく と x+y=k より, ソ=ーx+k となり,これは傾き -1, y切片kの直線を表す。 また,x, yは4つの不等式を同時に満たす値, つまり, 4つの不等式を満たす領域内の点(x, y) である。 領域と直線が共有点をもつときのkの値の最大値と最 小値を求めればよい、(次ページ参照) x+y=k 82 3'3 2 0 34 与えられた条件を満たす領域Dは 境界線は, x=0 (y軸), ソ=0(x 軸), 2x+y=6, Y4\2x+y=6 解答 右の図の斜線部分で,境界線を含む. x+y=k とおくと, x+2y=4 …0 より, 傾き c) ソ=ーx+k -1, y切片kの直線である。 (x, y)は直線D上かつ領域Dの 内部の点より,この直線を領域D と共有点をもつように動かすと右 x+2y=4 4 3 0 10 0 =す 無おに除 の図のように,点 C(S, ) 点Cの座標は、 「2x+y=6 を通るとき,y切片kは最大に 3'3 なる。 lx+2y=4 2 10 う 4=+ 8 2 このとき,k=x+y=;+ 8 より、C3 また,原点を通るとき,kは最小になる。 このとき, k=0+0=0 8 x= 3 2 y 3 10 よって, x+y の最大値 3 最小値0(x=0, y=0) Focus (与えられた1次式)=Dk とおき, この直線が領域内を通るときのkの範囲を求める 注》x-yのとる値の最大値, 最小値の場合は, x-y=k とおいたとき, y=x-k より, 切片が 一kになることに注意する. 傾きが1より, y切片の最大値は点 (0, 2) を通 とき? 量小値は(. 0)を通るとき -3 となるので, kの最大値は3(x=3, y=0),