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これで,
In-yn=(zo-yo) (2a-1)=(2a-1)"
xn+yn=(xo+yo)1"
d
=1
©+@
だから,
で、
2
スタートならn-1乗ですが
co-yo スタートなのでn乗です。
Xn=
=1/2(21-1)+1/2
あとは,数列{.xx} が収束するための必要十分条件です。
計画
京大では,極限の問題であっても、「求めよ」ではなく,本間
のように「収束する (必要十分) 条件を求めよ」としてくる場
合がよくあります。 京大らしいですね。
本問ではn→∞で,In の式でnがからんでいるのは (2α-1)” の部分
だから,これは「無限等比数列の極限」になります。これとカン違いしや
すいのが「指数関数の極限」で,収束条件がごちゃごちゃになりやすいの
が「無限等比級数」です。ここで確認しておきましょう。
まず、「無限等比数列」、 「指数関数の極限」は,
無限等比数列
8 (r>1のとき)
limr"=1(r=1のとき)
00-11
0 (-1<r<1のとき)
r≦-1のとき{r} は振動
しかし、指数関数のは実数であり,α ≦ 0 はダメです。 たとえば, a=-2,
として、dioを勝手に<0の場合に拡張して使うと、
(-2)=√-2=√2i
となり虚数になってしまいます。 高校数学では, 実数値を入れたときに実
数値を出す 「実数関数」 しか扱いません (大学に入ると, 複素数に拡張さ
れた 「複素関数」を扱います)。 したがって, a< 0 はマズイんです。a=0
は何乗しても0,α=1は何乗しても1だから, α = 0 1 もはずして,
んですね。
指数関数では,a > 0, a ≠1で考える
ただし、問題で与えられた数式の形によっては, α = 0 やα=1の場合
について,
1=1やO* = 0
(0° は高校では未定義なので除外して考えます)
を使って計算することもあります。
次に、「無限等比数列」 と 「無限等比級数」は,
◆無限等比数列の収束条件
数列{r-"}が収束するため
の必要十分条件は,
-1<r≤1
無限等比級数の収束条件
無限等比級数
a + ar + art......
無限等比数列の方は,∞と振
動の場合がダメなので,
+arn-1+…………
が収束するための必要十分条件は,
-1<r<1 または α = 0
で,その和は,
limr"=1となる1
a
-1<r<1のとき,
wwwwwww
1-r
limr" = 0 となる-1<r<1
wwwwww
指数関数の極限
8 (a>1のとき)
limax
0
(0 <α <1 のとき)
どちらも●の形なのですが、指数関数ではα=1やa≧0は考えませ
ん。 大丈夫ですか?
無限等比数列のnは自然数だから,r≧0であっても OK です。たとえ
ば,r=-2なら,
(-2)'=-2, (-2)^=4(-2)=-8,
のように値が定まります。
11-00
を合わせて, 収束する条件は,
-1<r≦1←r=1のときも収束します。
a=0のとき,0
一方,無限等比級数の方は、部分和をS とすると,
●a=0のとき S=0 ∴ lim S=0 (収束)
●a≠0,r=1のとき
n→00
Sn=na ... 数列{Sn} は発散
●a0r1のとき Sn
a(1-rn)
r=1のときはこの
1-r
公式が使えません。
248 第7章 極限・微分
テーマ32 極限 ① 249
