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基本 例題 123 2次曲線上の点と定点の距離
楕円 C:
x2
+y2=1 上の x≧0 の範囲にある点をPとする。点Pと定点
3
A(0, -1)の距離を最大にするPの座標と,そのときの距離を求めよ。
CHART & SOLUTION
曲線上の点と定点の距離の最大値・最小値
(距離) の式で考える
曲線上の点P (s,t)の満たす条件から、 (距離) すなわち AP2はもの2次式で表される(P
のx座標についての条件 s≧0 に注意)。
よって, tの2次関数の最大値問題の値の範囲に注意)
として解くことができる。
解答
P(s, t) とする。 ただし, s≧0とする。
点Pは楕円C上の点であるから
(1-) s²
-+t=1 ...... ①
x
3
よって
s2=3(1-t2)
-1 A
s2≧0 であるから
3(1-2)≥0
ゆえに
t1 ......
②
したがって
AP2=s2+(t+1)2
=3(1-t2)+(t+1)2
=-2t2+2t+4
← s≧0からtのとりう
る値の範囲を求める。
②の範囲のについて,AP2 は t=1/23 で最大値 1/2をとる。
AP≧0 であるから, AP2が最大のとき, APも最大となる。
1-1/2 のとき,①から / +1-1
t=
s≧0 であるから S=
3
3
2
ゆえに,P(23, 1/12) のとき最大となり、そのときの距離は
19 3√2
V2
=
2
2次関数の最大・最小は
y=a(x-p)+q
に変形して考える。
