問
46 軌跡(IV)
放物線 y=x²-2x+1 と直線 y=mx について,次の問いに
答えよ.
(1) 上の放物線と直線が異なる2点P, Qで交わるためのmの範
囲を求めよ.
(2) 線分 PQ の中点Mの座標をm で表せ.
(3)
点Mの軌跡を求めよ.
が(1)で求めた範囲を動くとき,
精講
(1) 放物線と直線の位置関係は, 連立させてy を消去した2次方程
式の判別式を考えます.
異なる2点とかいてあるので, 判別式≧0 ではありません.
(2) (1) 2次方程式の2解がPとQのx座標ですが, mを含んだ式になるの
で2解をα,β とおいて, 解と係数の関係を利用した方が計算がラクです .
(3)(1)において, mに範囲がついている点に注意します。
(4)
解答
y=x^2-2x+1 ① y=mx ②
(1) ①,②より,yを消去して,
2-(m+2)x+1=0 ...... ③
③は異なる2つの実数解をもつので
判別式をDとすると,D>0
D=(m+2)2-4 であるから
∴m(m+4)>0
..
m<-4,0<m
2)/ ③の2解をα,βとすれば,
m²+4m>0
P(a,ma), Q(B, mβ) とおける.
このとき,M(x,y) とすれば,
y4
y=x^2-2x+1
0
x=
a+β m(a+B).
M
2
ここで,解と係数の関係より
y=
=mx...... ④
P
2
0
α 1
IC
y=mx
Na+B=m+2 だから
