(2) x の方程式 (m+1)x²+2(m-1)x+2m-5=0の実数解の個数を求めよ。
1) この2次方程式の判別式をDとすると
D={-(k+1)}²-4・1・1=k+2k-3
=(k+3)(k-1)
2次方程式が異なる2つの実数解をもつための必要十分条件は
D>0である。
ゆえに (k+3)(k-1)>0
よって
k<−3, 1<k
(2) (+1)x²+2(m-1)x+2m-5=0...... ①とする。
[1] m+1=0 すなわち m=-1のとき
①は -4x-7=0
これを解いて
よって, 実数解は1個。
[2] m+10 すなわち m≠-1のとき
①は2次方程式で, 判別式をDとすると
D
x==
7
4
2=(m-1)-(m+1)(2m-5)=-(m²-m-6)
=-(m+2)(m-3)
D0 となるのは, (m+2)(m-3)<0のときである。
これを解いて
-2<m<3
m≠-1であるから
このとき実数解は2個。
D = 0 となるのは, (m+2)(m-3)=0のときである。
これを解いて
D<0 となるのは, (m+2)(m-3)>0のときである。
これを解いて
m<-2, 3<m
このとき実数解は0個。
以上により
-2<m<-1, -1<m<3
m=-2,3 このとき, 実数解は1個。
-2<m<-1,-1<m<3のとき 2個
m=-2,-1,3のとき 1個
m<-2,3<mのとき 0個
A
2次方程式とは書かれ
ていないから,m+1=0
(1次方程式) の場合を見
落とさないように。
←単に-2<m<3だけ
では誤り! m≠-1
であることを忘れないよ
うに。
←この範囲に m=-1は
含まれていない。
数]