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Mathematics Senior High

数Aの図形の問題です メネラウスの定理の最初に書く三角形と直線は どうしてこれらになるのでしょうか 考ええかたがわかりません 教えてください

線とそ 図参照。 ぞれ 。 9 76 チェの定 里の利用 1辺の長さが7の正三角形ABC がある。 辺 AB, AC上にAD=3, AE=6 となるように2点D, E をとる。 このとき, BE, CD の交点をF, 直線AF と BCとの交点をG とする。 線分 CGの長さを求めよ。 AE:EB=1:2, AF : FC =3:1 とする。 直線EF と直線BCとの交点をD とするとき, BD: DC, ED DF をそれぞれ求めよ。 (2) △ABCにおいて, 辺AB上と辺 ACの延長上にそれぞれ点E,Fをとり、 p.419 420 基本事項 1,3 AD BG CE AD チェバの定理 =1 に CE DB GC EA DB EA の値を代入する。 (2) △ABCの各辺またはその延長と直線 EF が交わり, △AEF の各辺またはその延長と 直線 BC が交わると考えて, メネラウスの定理を適用する。 (1) AD=3,DB=7-3=4, AE=6,CE =7-6=1 チェバの定理により ゆえに AD BG CE =1 DB GC EA D 3 BG 1 1 4 GC 6 F E B 7-----GC 421 △ABC が正三角形でない 場合も、3辺の長さと, 図 のD,Eの位置が決まれば、 線分 CG (BG) の長さが求 められる。 <CG: BG=1:8 3章 11 チェバの定理 メネラウスの定理 よって ゆえに BG=8GC CG= =1/BC=10 11. BC= 1.7=17 •7= (2) △ABCと直線 EF について, メネラウスの定理により 9 BD CF AE DC FA EB =1 ゆえに BD 1 1 . 1 DC 3 2 よって E 1 B D BD: DC=6:1 ■ AEF と直線 BC について, メネラウスの定理により ED FC AB DF CA BE -=1 ゆえに ED 1 3 DF 2 2 って ED: DF =4:3 〒989 3 メネラウスの定理を用いる ときは,対象となる三角形 と直線を明示する。 検討 F (1) チェの定理 メネラウスの 定理は, 覚えておくと数学B で学ぶベクトルで役に立つこ とがある (分点の位置ベクト ルを求める問題で有効)。

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Mathematics Senior High

数Aの図形の問題です 青い線のところで なぜ外心と垂心、内心が一直線上にあるかがわかりません またその後の比がどうしてこのようになるかが分かりません

章 三角形の辺の比、五心 10 000 した垂線を が円の直径 や性質(*) 円の 基本 例題12 重心外心垂心の関係 00000 外心と垂心を結ぶ線分を, 外心の方から12に内分することを証明せよ。 なお、 正三角形でない △ABCの重心G, 外心 0, 垂心Hは一直線上にあって、重心は 基本例題 71 の結果を利用してもよい。 解答 証明することは、次の [1], [2] である。 [1] 3点 G, 0, Hが一直線上にある。 p.406 407 基本事項 1, 2, 4 これを示すには, 直線 OH 上に点Gがあることを示せばよい。 それには, OH と中線 [2] 重心Gが線分 OH を 1:2に内分する, つまり OG: GH=1:2をいう。 AMの交点を G′' として, G′ とGが一致することを示す。...... AH// OMに注目して,平行線と線分の比の性質を利用する。 右の図において,直線 OH と △ABCの 中線AMとの交点をG′ とする。 AH⊥BC, OM⊥BC より, AH// OM であるから AG': G'M=AH: OM =20M:OM =2:1 B # (G) M A 300 413 垂心外心の性質から。 H (1)20 基本例題71の結果から。 (検討 AMは中線であるから, G′ は △ABC の重心と一致する。 よって、外心O, 垂心 H, 重心 Gは一直線上にあり すなわち HG: OG=AG: GM=2:10 OG: GH=1:2 AB AC-212(AD+BD 外心, 重心,垂心が通る直線 (この例題の直線 OH) を オイラー線という。ただし 正三角形ではオイラー線は定 義できない。 下の検討 ③ 参 照。

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