重要 例題 190 関数のグラフの概形 (4) 媒介変数表示
曲線
x=cos o
y=sin20
指針 基本は 0の消去。 y'=sin220=4sin²0cos²0=4(1-cos2d) cos²0 から,y'=4x2(1-x
となり、前ページのようにして概形をかくことができる。
しかし、媒介変数が簡単に消去できないときもあるので,ここでは,
媒介変数の変化に伴うx, y それぞれの増減を調べ
点 (x,y) の動きを追う
方針で考えてみる。 まず, 曲線の対称性を調べる。
解答
cos 0, sin 20 の周期はそれぞれ 2π, πである。
x=f(0), y=g(0) とすると, f(-8)=f(0),g(-8)=-g(0)
であるから, 曲線はx軸に関して対称である。
したがって,
① の範囲で考える。
① の範囲でf'(0) = 0 を満たす 0 の値は
0
ƒ'(0)
f'(0) = - sine, g'(0) = 2cos20
g'(0)
y
(グラフ)
0
(−z≧0≦x) の概形をかけ (凹凸は調べなくてよい)。
0
ﾐ
T
_g' (0) = 0 を満たす0の値は
① の範囲における0の値の変化に対応したx,yの値の変化は, 次の表のようになる。
YA
1
1
+
+
0 ↑
y
グラフ
TC
4
1
√2
0
1
:
↑ ↓
7
I
π
2
← 20
-
←
↓ 20 ↓
:
←
←
✓
0=0,π
( ✔)
0=
|3|4|-
π 3
4' 47
π
(*)
1
√2
0
-1
⠀
+
π
← -1
↑
よって, 対称性を考えると, 曲線の概形は、 右の図。
意 1. 表の←はxの値が減少することを表す。 また, ↑ ↓
はそれぞれyの値が増加, 減少することを表す。
意 2. グラフの形状を示す矢印
に応じて、下の表のようになる。
0
+
0
基本 187,188
, , は x,yの増減
(*) 0=α に対応した点を
(x,y) とすると,=-q
に対応した点は(x,y)
よって, 曲線はx軸に関し
て対称である。 ゆえに,
0≦O≦に対応した部分と
TOO に対応した部分
は,x軸に関して対称。
8=
1
√2
8=7
0
2
8=
4
XX
IT
8=
